Proposición 4.2 en ''Análisis real para estudiantes de posgrado'' de Richard Bass

Question

Lo siguiente es de R. "Bass Real Analysis for Graduate Students" :

Propuesta 4.2 Supongamos que $\mathcal{C}$ es una colección de subconjuntos de $X$ tal que $\varnothing$ y $X$ son ambos en $\mathcal{C}$ . Supongamos que $\ell:\mathcal{C}\longrightarrow[0,\infty]$ con $\ell(\varnothing)=0$ . Definir $$\mu^*(E)=\bigl\{\sum_{i=1}^\infty\ell(A_i):\ A_i\in\mathcal{C}\ \text{for each}\ i\ \text{and}\ E\subset\bigcup_{i=1}^\infty A_i\Bigr\}.\tag{4.1}$$

Entonces $\mu^*$ es una medida externa.

Prueba. (1) y (2) de la definición de medida exterior son evidentes. Para demostrar (3), dejemos que $A_1,A_2,\ldots$ sean subconjuntos de $X$ y que $\varepsilon>0$ . Para cada $i$ existe $C_{i1},C_{i2}\ldots\in\mathcal{C}$ tal que $A_i\subset\bigcup_{j=1}^\infty C_{ij}$ y $\sum_j\ell(C_{ij})\leq\mu^*(A_i)+\varepsilon/2^i$ . Entonces $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subset\bigcup_i\bigcup_jC_{ij}$ y \begin {align*} \mu ^* \Bigl ( \bigcup_ {i=1}^ \infty A_i \Bigr ) & \color {rojo}{ \leq } \sum_ {i,j} \ell (C_{ij})= \sum_i\Bigl ( \sum_j\ell (C_{ij}) \Bigr ) \\ & \leq\sum_ {i=1}^ \infty\mu ^*(A_i)+ \sum_ {i=1}^ \infty\varepsilon /2^i \\ & = \sum_ {i=1}^ \infty\mu ^*(A_i)+ \varepsilon. \end {align*} Desde $\varepsilon$ es arbitraria, $\mu^*(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\leq\sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)$ . $\qquad\square$

¿De dónde viene la desigualdad roja? Hay dos sumas en el lado derecho de la desigualdad roja, ¿cómo aparecen esas dos sumas?

PS el libro es disponible en línea.

Answer 1

Libro que miré: Richard F. Bass - Real analysis for graduate students_ measure and integration theory-CreateSpace (2011).

Obtenemos la desigualdad del círculo, porque la familia de conjuntos $C_{ij}$ cumplen la condición de la definición de $\mu^*$ , donde $E=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i$ .

Adición.

Esta respuesta a la segunda pregunta, añadida más tarde, sobre dos sumas en rhs: como $C_{ij}$ es una cubierta contable de $E=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i$ entonces por definición de inf tenemos $\mu^*(E) \leqslant \sum_{i,j}l(C_{ij})$ . El lado derecho es absolutamente convergente por lo que podemos escribirlo como $\sum_{i,j}l(C_{ij})=\sum_{i}\sum_{j}C_{ij}$ .