¿Cómo calcular el error de medición en un sensor exponencialmente no lineal? (sensor de presión de fabricación propia)

Question

Estoy intentando calcular el error de medición de un sensor de presión casero que tengo en un circuito divisor de tensión. Tiene las mismas características de resistencia no lineal exponencial negativa que un termistor NTC: con el aumento de la fuerza [N] la resistencia [ohmios] disminuye de forma no lineal. El sensor de presión actúa como una resistencia variable, y estoy midiendo la caída de tensión a través de él utilizando un ADC de 8 bits.

Hasta ahora, he tomado medidas de resistencia (con un multímetro de precisión de 0,1 ohm) del sensor de presión velostat casero a fuerzas ejercidas de 1 a 10 N utilizando un medidor de fuerza (con una precisión de 0,05N), con 5 medidas de resistencia en cada valor de fuerza. El promedio de las 5 mediciones se grafica a continuación.

Mi plan para calcular la fuerza ejercida [N] es utilizar una "función de potencia" que se crea a partir de los datos en Excel y reordenarla para resolver X (fuerza) a una determinada Y (resistencia). La resistencia (Y) se deriva de la tensión medida por el ADC.

¿Es este un buen enfoque, o debería utilizar una tabla de búsqueda o una interpolación lineal? (No estoy seguro de cómo hacer cualquiera de estos todavía).

¿Cómo puedo calcular el error de medición del sensor, ya que la resistencia sólo cambia una pequeña cantidad en los rangos de fuerza más altos, y la resistencia cambia mucho (sensible) en los rangos de fuerza ejercida pequeños?

EDIT: he añadido la tabla de mis mediciones de resistencia con los valores máximos y mínimos graficados (las 20 mediciones en cada valor de F [N] no se muestran en la tabla).

Answer 1

$$V_2=V_{ref}\dfrac{R_t}{R_1+R_t}=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{R_t}})$$

$$V_2=V_{ref}(\dfrac{1}{1+\dfrac{R_1}{244.5x^{-0.941}}})$$

$$R_t=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$244.5x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1}$$

$$x^{-0.941}=\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$-0.941\cdot lnx=ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}$$

$$x=e^(\dfrac{ln\dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)}}{-0.941})$$

$$x=\left( \dfrac{R_1}{244.5(\dfrac{V_{ref}}{V_2}-1)} \right) ^\dfrac{1}{-0.941}$$

Ahora puedes utilizar las medidas y escribir la función en series parciales de Taylor.

$${\displaystyle x_{approx} = f(V_a)+{\frac {f'(V_a)}{1!}}(V_2-V_a)+{\frac {f''(V_a)}{2!}}(V_2-V_a)^{2}+{\frac {f'''(V_a)}{3!}}(V_2-V_a)^{3}+\cdots ,}$$

Para cada punto de medición a, se calcula el diferencial 1 a n-ésimo (tabla LUT adicional, con números fijos) y luego se calcula el valor interpolado. Utilizar sólo la 1ª derivada podría estar bien, con la 2ª derivada el error de medición será mayor que el de aproximación, la 3ª derivada es un exceso.

Si tienes algo de MATLAB, Octave,... podrías resolver las derivaciones y calcular los números. Luego se utilizan esos valores precalculados con respecto a sus puntos de calibración. La única sobrecarga de la CPU es la cuadratura de (V2-Va).

Se podría ampliar/modificar la serie de Taylor para dos puntos vecinos. enlace

EDITAR:

He buscado en la red alguna diferenciación simbólica. En primer lugar, en los libros de texto se suele encontrar una función definida como y=f(x), así que vamos a reordenar

y=(R_1/(244.45*(V_R/x-1)))^(1/-0.941)

donde y es la Fuerza, y x es la tensión medida

He introducido la ecuación (R_1/(244,45*(V_R/x-1)))^(1/-0,941) en un solucionador en línea - www.derivative-calculator.net . He elegido los valores Vref=3,3V, R1=220 ohm.

He calculado la tensión V2 según la ecuación (1) cuando Rt=130, según tu gráfica (función equivalente) debería ser a fuerza=2.

V2=3,3* 130/(220+130) = 1,225V

Tengo esto:

La fuerza debería ser aproximadamente 2, no sé por qué esta desviación. El solucionador también hizo una simplificación de la función:

$$\dfrac{4889^\frac{1000}{941}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{1000}{941}}{20^\frac{1000}{941}R_1^\frac{1000}{941}}$$

Finalmente, la primera derivada es: $$-\dfrac{50{\cdot}4889^\frac{1000}{941}V_{ref}\left(\frac{V_{ref}}{x}-1\right)^\frac{59}{941}}{941{\cdot}20^\frac{59}{941}R_1^\frac{1000}{941}x^2}$$

Ahora todo lo que tienes que hacer es insertar valores.

Por ejemplo, en el primer punto (F=1; Rt=230), V2=3,3*230/(220+230)= 1,686V. Inserto este valor como x, y el valor de la 1ª derivada es f'(1,686)= -1,37612. La segunda derivada es 1,737047.

Para la pequeña desviación en torno al primer punto, la fuerza podría calcularse como una serie de Taylor de segundo orden:

$$F_{approx} = 1 - 1.37612\cdot (V_2-1.686V)+0.68806\cdot (V_2-1.686V)^2$$

Calculando el V2 para el 2º punto (F=2; Rt=135) como ya se ha dicho V2=1,225 e insertándolo en la ecuación anterior se obtiene F=1,78