campo perfectoide de característica $p$

Question

Dejemos que $L$ sea un campo perfectoide de característica $p$ y $L'$ sea una extensión finita de $L$ . Entonces quiero probar el mapa de trazos $\text{Tr}_{L'/L}: m_{L'}\rightarrow m_L$ es sobreyectiva. Encuentro una prueba en el artículo de Kedlaya "On categories of $(\phi,\Gamma)$ -módulos", pero no puedo entenderlo. La prueba es la siguiente:

La subjetividad equivale al hecho de que el cokernel es aniquilado por todos los $m_L$ (¿Por qué?)

Desde $L'/L$ es una extensión separable finita, entonces el aniquilador del cokernel es distinto de cero.(¿Por qué?)

Dado que el aniquilador es distinto de cero y está cerrado al tomar $p$ -raíces, por lo que el cokernel es aniquilado por todas las $m_L$ por lo que este mapa es sobreyectivo (esto es fácil de ver).

¿Podría alguien ayudarme a resolver estas dos cuestiones en esta prueba?

Gracias.

Answer 1

Escriba $I$ para la imagen de $\operatorname{Tr}_{L'/L} \colon \mathfrak m' \to \mathfrak m$ que es un ideal porque $\operatorname{Tr}_{L'/L}$ es $\mathcal O_L$ -lineal.

(1) La primera frase es sólo la no discreción de la valoración. Esto obliga a $\mathfrak m^2 = \mathfrak m$ Así que si $I \subseteq \mathfrak m$ con $\mathfrak m^2 \subseteq I$ Debemos tener $I = \mathfrak m$ .

(2) La segunda frase se deduce porque $\operatorname{Tr}_{L'/L} \colon L' \to L$ es distinto de cero si (y sólo si) $L'/L$ es separable (véase, por ejemplo, Tag 0BIL ). Entonces, lo mismo ocurre con $\operatorname{Tr}_{L'/L} \colon \mathfrak m' \to \mathfrak m$ por lo que existe un $x \in I$ . Entonces $x\mathfrak m \subseteq (x) \subseteq I$ es decir $x \in \operatorname{Ann}(\mathfrak m/I)$ .