La secuencia $(x_n)$ viene dada recursivamente por $x_{0}=0$ , $x_{1}=1$ , $ x_{n+1}=x_{n} \sqrt{x^{2}_{n-1}+1}+x_{n-1}\sqrt {x^{2}_{n}+1} , \ \ \ n \geq 1 $

Question

La secuencia $(x_n)$ viene dada recursivamente por $x_{0}=0$ , $x_{1}=1$ , $$ x_{n+1}=x_{n} \sqrt{x^{2}_{n-1}+1}+x_{n-1}\sqrt {x^{2}_{n}+1} , \ \ \ n \geq 1$$ Encuentre $x_{n}$

Intenté hacer una sustitución de $x_{n-1}=\tan(u)$ y $x_{n} =\tan(v)$ y obtuve $$x_{n+1}=\frac{sin(v)+ sin(u)}{cos(v)cos(u)}$$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora. Podría alguien ayudarme con esto. Gracias.

Answer 1

Al establecer $x_n=\sinh u_n$ como sugiere Ron Gordon, obtenemos $$ \sinh u_{n+1} = \sinh u_n \cosh u_{n-1} + \sinh u_{n-1}\cosh u_n = \sinh(u_n+u_{n-1}) \tag{1}$$ de la cual $u_{n+1}=u_n+u_{n-1}$ se deduce de la inyectividad de la $\sinh $ función.
Desde $u_0=0$ y $u_1=\log(1+\sqrt{2})$ tenemos $$ u_n = F_n\cdot\log(\sqrt{2}+1) \tag{2}$$ $$ x_n = \color{red}{\frac{1}{2}\left[(\sqrt{2}+1)^{F_n}-(\sqrt{2}-1)^{F_n}\right]}\tag{3}$$ donde $F_n$ es el $n$ -en Número de Fibonacci .