Clasificación de anillos comutativos Unital de orden $p^2$

Question

Estoy tratando de clasificar unital conmutativa anillos de orden $p^2$ donde $p$ es un primo. En primer lugar, se me ocurrió el abandono de la 'unital' y 'conmutativa los requisitos, y después de un arduo camino me las arreglé para mostrar que no se $11$ estos anillos de hasta isomorfismo. Algunos son no-conmutativa y no unital, y el viaje a lo que el resultado es un poco feo para una clase de álgebra conmutativa.

Esto debería ser más fácil si consideramos sólo los unital anillos de orden $p^2$. (Es fácil demostrar que si es unital, entonces es conmutativa en este caso). Pero hasta ahora, no he encontrado una solución que no se utilice el hecho de que he encontrado representaciones de la $11$ anillos.

Estoy seguro de que es mucho menos técnico y desordenado método para encontrar unital conmutativa anillos de orden $p^2$ es posible. Para la referencia en el contexto, esta pregunta viene en medio de una revisión de el Teorema del Resto Chino, el Teorema de Estructura de los Módulos de más de un PID, tensor de productos, y álgebras. Me fuertemente la sospecha de que si yo fuera más fluidez en la aplicación de la CRT, yo sería capaz de llegar hasta allí.

¿Tienes alguna idea?

Por cierto, creo que hay $4$. Se debe buscar como $\mathbb{F}_{p^2}, \mathbb{Z}_{p^2}, \mathbb{Z}_p [x]/(x^2),$ y (no sé conveniente nombre para el cuarto, pero por ejemplo, el Klein 4-grupo con el estándar de estructura de anillo en la parte superior, que estoy inclinado a designar $\mathbb{Z}_{p \times p}$). De una manera más conveniente de la designación, la 1 está integrado en el grupo aditivo $C_{p^2}$ y 3 están construidas en $C_p \times C_p$. Yo sería el contenido si yo podría enumerar cuántos anillos en cada aditivo grupo, hasta homomorphism, en lugar de en realidad, la clasificación de ellos.

Answer 1

En un unital anillo de $R$ orden $p^2$ el aditivo orden de $1$ sólo puede ser $p$ o $p^2$. En el segundo caso, $1$ genera el aditivo grupo, así que está claro que el anillo en sí es isomorfo a $\mathbb Z/(p^2)$. Así que nos concentramos en la primera opción.

En ese caso, todos los no-cero elementos tienen aditivos orden de $p$, por lo que el anillo es en realidad un $2$-dimensional $\mathbb F_p$-álgebra. Elija cualquier elemento $x\in R$ que es linealmente independiente con $1$, por lo que el $\{1,x\}$ es una base. Debemos tener $x^2=a+bx$ para algunos $a$, $b\in\mathbb F_p$, y, a continuación, $R$ es isomorfo a $\mathbb F_p[X]/(X^2-aX-b)$.

Si $X^2-aX-b$ es irreducible sobre$\mathbb F_p$, $R$ es un campo, y sólo hay un campo de orden $p^2$: $\mathbb F_{p^2}$. Si no, entonces factores como $(X-\alpha)(X-\beta)$$\mathbb F_p$. Es fácil ver ahora que si $\alpha\neq\beta$ tenemos $R\cong\mathbb F_p\times\mathbb F_p$ e si $\alpha=\beta$$R\cong\mathbb F_p[X]/(X^2)$.

Curiosamente, el hecho de que $R$ es conmutativa no juega ningún papel aquí, y no hay no-conmutativa anillos de orden $p^2$.

Para la diversión, supongamos ahora que $R$ sí no tiene una unidad, y vamos a ver qué pasa.

En primer lugar, supongamos que el addititive grupo es cíclico, por lo que no es un aditivo generador de $x\in R$ orden $p^2$. A continuación, hay un $n\in\{0,\dots,p^2-1\}$ tal que $x^2=nx$. Está claro que el isoclass de $R$ está determinado por $n$. Pero hay una ambigüedad, ya que hay otros generadores: cualquier otro generador de aditivos de grupo es de la forma $ax$ $a$ una unidad de $\mathbb Z/(p^2)$. Si en lugar de $x$ que había comenzado con $y=ax$,$y^2=a^2x^2=a^2nx=any$, en lugar de $n$ tendríamos $an$. De ello se deduce que las clases de isomorfismo de anillos de este formulario son parametrizadas por el cociente de $\mathbb Z/(p^2)$ bajo la acción de su grupo de unidades dadas por la izquierda de la multiplicación. Si yo no se esta tan mal, hay tres órbitas: la de $0$, la de la $1$ y la de $p$, por lo que hay tres anillos de este tipo.

Segundo, supongamos que el grupo aditivo no es cíclica, por lo que todos los no-cero elementos tienen el fin de $p$, e $R$ es de hecho una $\mathbb F_p$-espacio vectorial.

Supongamos que hay un no-cero idempotente $e\in R$. Deje $\lambda:a\in R\mapsto ea\in R$$\rho:a\in R\mapsto ae\in R$. Estos son dos idempotente $\mathbb F_p$-lineal de los mapas de viaje. Álgebra lineal nos dice entonces que hay una suma directa de descomposición $$R=R_{00}\oplus R_{10}\oplus R_{01}\oplus R_{11}$$ con \begin{align} &R_{00}=\{x\in R:ex=xe=0\},\\ &R_{10}=\{x\in R:ex=x, xe=0\},\\ &R_{01}=\{x\in R:ex=0, xe=x\}, \\ &R_{11}=\{x\in R:ex=xe=x\}. \end{align} En la mayoría de los dos de estos subespacios puede ser distinto de cero, y sabemos que $R_{11}$ contiene $e$. También, $R_{11}$ puede ser de $R$ porque estamos suponiendo que no hay unidad.

• Si existe un elemento no nulo de a $R_{10}$, se $x$. A continuación, $\{e,x\}$ es una base, $ex=x$, $xe=0$ y $xx=x(ex)=(xe)x=0x=0$. La multiplicación es por lo tanto completamente determinado.

• Del mismo modo, si existe un elemento no nulo $x\in R_{01}$, $\{e,x\}$ es de nuevo una base, y hemos $ex=0$, $xe=x$ y $xx=0$.

• Por último, si existe un elemento no nulo $x\in R_{00}$,$ex=xe=0$. A continuación, $ex^2=(ex)x=0$ y de manera similar a $x^2e=0$, lo $x^2$ es demasiado en $R_{00}$, y hay un escalar $a$ tal que $x^2=ax$. Si $a\neq0$, dejamos $y=a^{-1}x$, por lo que el $y^2=a^{-2}x^2=a^{-1}x=y$, y desde $\{e,y\}$ es una base que determina la multiplicación. Si $a=0$, por supuesto, la multiplicación también es fijo.

Nos quedamos con el caso en el que no hay cero idempotents en $R$. Un clásico teorema de Albert implica que todos los no-cero elementos deben ser nilpotent. Si hay un $x\in R$, lo que es distinto de cero y tal que $x^2$ es linealmente independiente con $x$, $\{x,x^2\}$ es una base, y debemos tener $x^3=0$, para el mapa de $a\in R\mapsto xa\in R$, siendo un nilpotent endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión $2$, debe tener nilpotency índice en la mayoría de las $2$. Vemos que la tabla de multiplicación está totalmente determinado.

Por último, supongamos que todos los no-cero elementos son nilpotent pero para para cada una de las $x$ de ellos, tenemos que $x^2$ es lineal múltiple de $x$. Todos los elementos de a $R$ debe, por tanto, de la plaza a cero. Deje $\{x,y\}$ ser una base, y supongamos $xy=ax+by$$yx=cx+dy$. A continuación,$0=(x+y)^2=(a+c)x+(b+d)y$, lo $yx=-xy$. Ahora llame a $u=xy$. Si $u$ es cero, entonces todos los productos son iguales a cero. Si $\{x,u\}$ es una base, entonces sabemos que la multiplicación, como $x^2=u^2=xu=ux=0$. Si no, $\{y,u\}$ es una base, y de nuevo todos los productos son iguales a cero.

Answer 2

Qué extraña coincidencia: he estado perdiendo un montón de tiempo recientemente pensando principal Artinian anillos. Ahora cada conmutativa, unital anillo de orden $p^2$ es la principal: en efecto, cada distinto de cero adecuada ideal debe, en particular, tienen el fin de $p$, por lo que es aún generan como un subgrupo aditivo por cualquier elemento distinto de cero.

Paso 1: El único (conmutativa, unital: este será omitido a partir de ahora) anillo de orden $p$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Por ejemplo, debe tener un ideal maximal y de residuos en el campo, y las restricciones de tamaño de la fuerza de la máxima ideal para ser $(0)$ y el residuo de campo para tener un orden $p$.

Paso 2: Cada finito anillo es una Artinian anillo, por lo tanto isomorfo a un producto de Artinian local de los anillos. Así que para los anillos de orden $p^2$, el único que es un trivial producto es $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$. Los otros son locales Artinian principal de los anillos. Deje $R$ ser un anillo de orden $p^2$.

Paso 3: es fácil ver que la característica de $R$ es $p^2$ o $p$ y en el primer caso se debe tener $R \cong \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z}$.

Paso 4: Supongamos que $R$ tiene características de las $p$. Si el único ideal maximal si $(0)$, $R \cong \mathbb{F}_{p^2}$ es el campo finito de orden $p^2$. De lo contrario, la máxima ideal generado por un elemento de a$t$$t^2 = 0$. A partir de esto es fácil ver que $R \cong (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})[t]/(t^2)$.

Cuenta Final: $R$ es uno de

$\mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, \ \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z}, \mathbb{F}_{p^2}, \ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[t]/(t^2)$.