Multiplicación por permutación simple de dos 4 ciclos de $S_4$ específicamente, $ (1324)(1423)$ .

Question

Por alguna razón estoy confundido sobre cómo multiplicar estos junto con $4$ elementos. Puedo hacerlo con $2$ pero hay una pequeña laguna en mi lógica y estoy seguro de que alguno de vosotros puede ayudarme con una simple aclaración de a dónde se envían los elementos. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\sigma=(1324), \tau=(1423)$ .

Entonces, de derecha a izquierda, tenemos

$$\begin{align} 1&\stackrel{\tau}{\mapsto}4\stackrel{\sigma}{\mapsto}1,\\ 2&\stackrel{\tau}{\mapsto}3\stackrel{\sigma}{\mapsto}2,\\ 3&\stackrel{\tau}{\mapsto}1\stackrel{\sigma}{\mapsto}3,\\ 4&\stackrel{\tau}{\mapsto}2\stackrel{\sigma}{\mapsto}4. \end{align}$$

Así, $(1324)(1423)={\rm id},$ la permutación de identidad.

Answer 2

Añadiré una explicación sobre cómo determinar de forma muy sencilla la inversa de un ciclo (y así ver al instante que en su caso, los ciclos son inversos entre sí):

Si $\gamma=(a_1\,a_2\,\dots\,a_{n-1}\,a_n)$ es un ciclo cualquiera, imaginemos que está formado por $n$ puntos de un círculo, uno tras otro en sentido contrario a las agujas del reloj. El ciclo inverso $\gamma^{-1}$ consiste en los mismos puntos, uno tras otro, pero en el sentido de las agujas del reloj, de manera que obtenemos, siempre empezando por $a_1$ : $$ \gamma^{-1}=(a_1\,a_n\,a_{n-1}\,\dots\,a_2).$$