Constantes de integración En la teoría de Hamilton-Jacobi

Question

Hace tiempo que tengo esta confusión. Resolvemos la ecuación de Hamilton Jacobi,

$$H+\frac{\partial S}{\partial t}=0$$

Digamos que obtenemos una solución $S(q,\alpha,t)$ donde $\alpha$ es un constante de integración . El planteamiento consiste entonces en identificar $\alpha$ como el nuevo impulso.

Tengo problemas para entender esto, cuando definimos $\alpha$ como el nuevo impulso, es $\alpha(p,q,t)$ ? Es $\alpha$ a función de las antiguas coordenadas y la hora? Tengo entendido que $\alpha$ es una constante, un número que está determinado por las condiciones iniciales que damos y tratamos de invertir las soluciones localmente en la aproximación HJ.

¿Y cuál es la diferencia entre una constante de integración y una constante de movimiento?

Answer 1

La lógica es la siguiente:

1. El Ecuación HJ es una EDP no lineal de primer orden en $n+1$ variables $(q^1,\ldots q^n,t)$ que, en principio, puede resolverse utilizando, por ejemplo, el método de las características . Una solución completa $S(q,\alpha,t)$ tiene $n$ no trivial $^1$ constantes de integración $\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in\mathbb{R}^n$ .

2. La función principal de Hamilton $S(q,\alpha,t)$ es un función generadora de tipo 2 para un TC $(q,p,t)\to (Q,P,t)$ que (entre otras cosas) implica que $$ p_i ~=~\frac{\partial S}{\partial q^i} ~=~\text{function of } (q,\alpha,t).$$ Esta relación anterior puede, en principio, resolverse para $\alpha$ que se convierte en una función de $(q,p,t)$ .

3. Las constantes de integración $\alpha$ se identifican a continuación con los nuevos momentos $P$ .

4. El Kamiltoniano $K\equiv 0$ desaparece idénticamente, por lo que las nuevas variables del espacio de fase $(Q,P)$ son constantes de movimiento , cf. las ecuaciones de Kamilton. La definición de una constante de movimiento en un contexto hamiltoniano se da en mi respuesta de Phys.SE aquí .

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$^1$ También existe una constante de integración trivial $\alpha_0$ asociado a un turno $S\to S+\alpha_0$ que suprimimos.