Medias de símbolos de Hilbert

Question

Permítanme llamar a un par de enteros $a, b$ aceptable si la ecuación $ax^2 + by^2 = z^2$ tiene una solución racional no trivial. El teorema 4.5.4 del libro de Cojocaru-Murty sobre los tamices dice que el número de pares aceptables de enteros $a, b$ con $1 \leq a, b \leq H$ es $\ll H^2 / \log \log H$ . Esto se demuestra utilizando el tamiz de Turan. Serre había demostrado previamente en un breve artículo en 1990 que la estimación puede mejorarse a $H/(\log H)^\delta$ para algunos $\delta >0$ . La prueba de este último resultado utiliza la criba grande.

Pregunta. ¿Es posible dar una fórmula asintótica para el número de pares aceptables de enteros $a, b$ con $1 \leq a, b \leq H$ como $H \to \infty$ ?

Answer 1

Este problema ha sido considerado por algunos autores. Las versiones para $a$ y $b$ racional fueron considerados por Hooley y Guo (independientemente). Véase

Hooley - Sobre las formas cuadráticas ternarias que representan el cero.

Guo - Sobre la solvencia de las formas cuadráticas ternarias.

Hooley obtuvo el límite inferior (agudo) de la forma $H^3/(\log H)^{3/2}$ para el correspondiente problema de recuento. Guo obtuvo una fórmula asintótica para el problema ligeramente diferente donde $a$ y $b$ se suponen libres de cuadrados (es decir, los numeradores y denominadores son libres de cuadrados).

No parece que se conozca una fórmula asintótica sin la hipótesis del cuadrado.

Trabajos más recientes:

Friedlander, Iwaniec - Formas cuadráticas ternarias con ceros racionales

considera el caso en el que $a$ y $b$ son enteros, y se obtiene una fórmula asintótica del orden $H^2/(\log H)$ bajo el supuesto adicional de que $a$ y $b$ son Impares, coprimas y libres de cuadrados. Una fórmula asintótica para el $a$ y $b$ podría obtenerse a partir de sus métodos, pero probablemente sea bastante complicado.