Una formulación del teorema de Dilworth (para conjuntos parcialmente ordenados finitos) establece que:
Existe una anti cadena A y una partición del orden en una familia P de cadenas, tal que el número de cadenas en la partición es igual a la cardinalidad de A.
Lo anterior es un extracto de esta página de wiki. Sin embargo, no entiendo cómo la declaración anterior es equivalente a la siguiente formulación del teorema.
En cualquier conjunto parcialmente ordenado finito, el número máximo de elementos en cualquier anti cadena es igual al número mínimo de cadenas en cualquier partición del conjunto en cadenas.
El artículo de wiki intenta explicar esto. Aquí está su explicación:
El teorema de Dilworth establece que existe una anti cadena A y una partición del orden en una familia P de cadenas, tal que el número de cadenas en la partición es igual a la cardinalidad de A. Cuando esto ocurre, A debe ser la mayor anti cadena en el orden, ya que cualquier anti cadena puede tener como máximo un elemento de cada miembro de P. De manera similar, P debe ser la familia más pequeña de cadenas en la cual el orden puede ser particionado, ya que cualquier partición en cadenas debe tener al menos una cadena por cada elemento de A.
No entiendo por qué las afirmaciones "...ya que cualquier anti cadena puede tener como máximo un elemento de cada miembro de P" y "....ya que cualquier partición en cadenas debe tener al menos una cadena por cada elemento de A" juntas implican la maximalidad de la anti cadena y la minimalidad del número de cadenas.
Cualquier ayuda para entender por qué estas son formulaciones equivalentes será apreciada.
Antecedentes: Principalmente soy un solucionador de problemas. Estoy aprendiendo teoría de órdenes debido a sus conexiones con el lema de matrimonio de Hall y porque parece muy interesante. No estoy siguiendo ningún libro, pero estoy tratando de aprender un poco de teoría de órdenes en línea. Por lo tanto, soy un principiante total en esta área.
