En un pregunta reciente Pregunté si era necesario que la inclusión canónica estuviera bien señalada. $$X\hookrightarrow M_f^{\bullet}$$ una cofibración puntiaguda. Aquí $X,Y$ son espacios topológicos puntuales (espacios Hausdorff débiles generados de forma compacta para ser precisos), $f:X\to Y$ es un mapa punteado y $M_f^{\bullet}$ su cilindro de mapeo en punta. A menos que esté muy equivocado, la inclusión canónica es siempre una cofibración puntiforme (y la prueba es prácticamente idéntica al caso sin punta), sin embargo, mi principal fuente sobre este material, el libro de Jeff Strom Teoría clásica moderna de la homotopía me dice que hay que hacer la suposición adicional de $Y$ estar bien orientado, es decir, la inclusión del punto base $\ast\hookrightarrow Y$ es una cofibración no puntiforme.
Podía imaginarme una buena orientación de $Y$ siendo útil si queremos mostrar $X\hookrightarrow M_f^{\bullet}$ para ser un sin señalar cofibración, aunque no he podido demostrar que realmente lo sea. He comprobado el relato de J.P. May sobre el tema en su Curso conciso de topología algebraica y el buen humor no parece jugar un papel tan importante como en el libro de Strom, al menos May pone menos énfasis en esta condición.
¿Qué es lo que pasa con la puntería? ¿Estoy equivocado sobre $X\hookrightarrow M_f^{\bullet}$ siendo necesariamente una cofibración puntiaguda? ¿Por qué necesitaría espacios bien punteados, cuando en el contexto punteado sólo me interesa extender homotopías punteadas? Por último, ¿es cierto que cuando $Y$ está bien señalada, la inclusión canónica $X\hookrightarrow M_f^{\bullet}$ es un sin señalar ¿cofibración?
Conozco un teorema que dice que si $(\ast\in )A\rightarrow X$ es un mapa punteado y $A$ está bien orientado, entonces $A\rightarrow X$ es una cofibración puntiforme si es una cofibración no puntual. Esto parece ser un beneficio importante de la cofibración, pero no se relaciona con mi problema.
EDITAR @JustinYoung Gracias por su paciencia con esto. No me convence tu contraejemplo, he aquí por qué: el cilindro cartográfico puntiagudo de la identidad de $X$ debe ser homeomorfo a la unión contable de segmentos cerrados con extremos $(1/n,0,0)$ y $(1/n,1/n,0)$ más el origen como subespacio de $\Bbb R^3$ (y también a $X\rtimes I$ ). Así, $M^{\bullet}_{id}\rtimes I$ debe ser homeomorfo a la unión contable de cuadrados completos con ángulos $(1/n,0,0),(1/n,1/n,0),(1/n,1/n,1/n),(1/n,0,1/n)$ más el origen como subespacio de $\Bbb R^3$ (y también a $(X\rtimes I)\rtimes I$ ). En esta foto, $X\rtimes I\cup_X M_{id}^{\bullet}\rtimes\{0\}$ es todo lo que tiene $x=y$ o $z=0$ . Si se comprimen todos estos cuadrados simultáneamente en su esquina inferior derecha y en sus lados, se obtiene una fuerte retracción de la deformación de $M^{\bullet}_{id}\rtimes I$ en $X\rtimes I\cup_X M_{id}^{\bullet}\rtimes\{0\}$ . Si quieres puedo añadir mi prueba de que la inclusión canónica $X\hookrightarrow M_f^{\bullet}$ es siempre una cofibración puntiforme, independientemente de que $Y$ está bien apuntado o no, y puedes decirme si estás de acuerdo o no. No puedo hacerlo esta noche, pero tal vez lo haga mañana.
