Ecuación de primera variación para un flujo

Question

Estoy tratando de derivar la ecuación de primera variación de un flujo para un campo vectorial.

Cosas que me han dicho: $\mathbf{F}$ es un campo vectorial de clase $C^1$ con un flujo $\phi$ de la clase $C^2$ .

Desde aquí tengo que mostrar $$\frac{\partial}{\partial{t}}D_x\phi(\mathbf{x},t)=D\mathbf{F}(\phi(\mathbf{x},t))D_x\phi(\mathbf{x},t)$$

Mi intuición es utilizar la regla de la cadena, ya que así es como se ve el lado derecho, pero la forma de llegar allí es confusa. No estoy muy seguro del primer paso.

Answer 1

1. ¿Puede intercambiar $\frac{\partial}{\partial t}$ y $D_x$ en el lado izquierdo? ¿Por qué?
2. Por definición, lo que es $\frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf{x},t)$ ?

Answer 2

Así que después de nuestra discusión, creo que la prueba directa es así; $$\frac{\partial}{\partial{t}}D_x\phi(\mathbf{x},t)=D_x\frac{\partial}{\partial{t}}\phi(\mathbf{x},t)=D_x\mathbf{F}(\phi(\mathbf{x},t))$$ Aquí podemos invocar la regla de la cadena $$D_x\mathbf{F}(\phi(\mathbf{x},t))=D\mathbf{F}(\phi(\mathbf{x},t))\cdot D_x\phi(\mathbf{x},t))$$