Prueba $\frac1{x^4} < \frac1{x^3} - \frac1{(x+1)^3}$

Question

Demostrar que para $x \ge 2$ , $$\frac1{x^4} < \frac1{x^3} - \frac1{(x+1)^3}.$$

Lo que tengo hasta ahora es: $${1\over x^3} - {1\over (x+1)^3} = {(x+1)^3-x^3\over x^3(x+1)^3} = {3x^2+3x+1\over x^3(x+1)^3} > {(x+1)^2\over x^3(x+1)^3} = {1\over x^3(x+1)}.$$ Como se ha visto, esto no conduce a la expresión correcta, así que ¿podría alguien darme alguna pista sobre cómo debería enfocar la cuestión algebraicamente?

He pensado en utilizar el gráfico de ${1\over x^4}$ y utilizando el área bajo la gráfica pero estaba pensando si hay algún truco para resolverlo por vía algebraica.

Answer 1

$$\frac{3x^2+3x+1}{x^3(x+1)^3}$$

$$\gt\frac{3x^2+3x}{x^3(x+1)^3}$$

$$=\frac{3}{x^2(x+1)^2}$$

$$\gt\frac{1}{x^4}$$

porque para $x\ge2$

$$\frac{3}{(x+1)^2}\ge \frac{1}{x^2}$$

Answer 2

\begin {align*}{1 \over x^3} - {1 \over (x+1)^3}- \frac {1}{x^4}= \frac {2x^3-2x-1}{x^4(x+1)^3}>0 \qquad (x \geq 2) \end {align*}