Suponga que $A$ $C^{*}$- álgebra que $\forall a,b \in A, ab=0 \iff ba=0$.
Es $A$ necesariamente un álgebra conmutativa?
En particular, no "$\forall a,b \in A, ab=0 \iff ba=0$" implica que la $\parallel ab \parallel$ es uniformemente dominado por $\parallel ba \parallel$? En la otra palabra $\parallel ab \parallel \leq k \parallel ba \parallel$, para una constante y uniforme $k$. Por supuesto, la posterior implica la conmutatividad.
Nota añadida: Como un ejemplo nos fijamos en el algebra de Cuntz $\mathcal {O}_{2}$. Hay dos elementos $a,b$ $ab=0$ pero $ba\neq 0$. Esta álgebra es generado por $x,y $ con $$\begin{cases}xx^{*}+yy^{*}=1\\x^{*}x=y^{*}y=1\end{cases}$$ This implies $x^{*}(yy^{*})=0$ but $(yy^{*})x^{*} \neq 0$.
Esto muestra que por cada adecuadamente infinito $C^{*}$ álgebra, hay dos elementos $a,b$ $ab=0$ pero $ba\neq 0$
