Dejemos que $M$ sea una zona conectada $n$ -con un límite no vacío. El doble de la misma viene dado por $$ D(M) = M\,\,\,\cup_f\,\,\, M $$ donde $f:\partial M\to\partial M$ es un mapa de identidad. Tengo que demostrar que $D(M)$ está conectado. Como es un espacio cociente se me ocurrió considerar un espacio conexo $X$ junto con un mapa de cociente $q:X\to D(M)$ pero claramente $X = M\sqcup M$ no es un buen candidato ya que está desconectado. ¿Podría ayudarme a resolver este problema?
Respuesta
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Suponemos que $M$ está conectado. El doble $D(M)$ es igual a la unión de dos copias de $M$ que se cruzan en $\partial M\neq \emptyset$ . Por otro lado, es un lema estándar en topología que la unión de dos conjuntos conexos que tiene una intersección no trivial es conexa. Véase, por ejemplo, el lema de Munkres Topología (segunda edición) Teorema 23.3.
