Es bien sabido que $10! = 6! 7! $, quiero demostrarlo a través de manipulaciones algebraicas de la función Gamma, es decir, mostrar que: $$ \int{0}^{+\infty} x^7 e^{-x} \, dx \int{0}^{+\infty} y^6 e^{-y} \, dy = \int_{0}^{+\infty} z^{10} e^{-z} \, dz \qquad (1) $$ Traté de escribir el LHS como:
$$ \int{0}^{+\infty} \int{0}^{+\infty} x (xy)^6 e^{-(x+y)} \, dx dy \qquad (2)$$
e ir por la sustitución $u = x + y $, $v=xy$, pero eso conduce a cálculos complicados. ¿Hay una manera razonable/sustitución para convertir la doble integral en $(2)$ en el RHS en $(1)$. Gracias de antemano por cualquier contribución.
