¿Incongruencia con la función generadora? Problema de distinción entre la suma de 2 ensayos de X y 2X

Question

$$X\sim Po(\lambda)$$ $$ X_1+X_2\sim Po(2\lambda) $$ $$2X\sim Po(2\lambda)$$ Está claro que $X_1+X_2\neq2X$ .

$G_{X_1+X_2}(t)=E(t^{x_1+x_2})=E(t^{x_1}t^{x_2})=E(t^{x_1})E(t^{x_2})=(G_X(t))^2=e^{2\lambda(t-1))}$ asumiendo la independencia.

Sin embargo, $G_{2X}(t)=E[(t^2)^x)]=G_{X}(t^2)=e^{\lambda(t^2-1)}$ que no es la función generadora correcta para una variable que sigue $Po(2\lambda)$ . ¿Por qué?

Además, ¿cómo se distingue entre $X_1+X_2$ y $ 2X$ para distribuciones como la binomial negativa, la geométrica y la binomial? por ejemplo, si $X\sim NB(n,p)$ / $X\sim Geo(p)$ / $X\sim B(n,p)$ ¿Qué es lo que $X_1+X_2$ seguir y cuán diferente es en comparación con $2X$ ?

Answer 1

Su afirmación de que $2X$ es una variable aleatoria poisson bajo el supuesto $X\sim\text{Po}(\lambda)$ es incorrecto. Si lo fuera, entonces $$ Var(2X)=E(2X)\implies 4\lambda=2\lambda \implies \lambda=0 $$ que es una contradicción. También $$ M_{2X}(t)=Ee^{t(2X)}=Ee^{(2t)X}=M_X(2t)=\exp(e^{\lambda(2t-1)}) $$ donde $X\sim\text{Po}(\lambda)$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que si $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias idénticamente distribuidas e independientes, entonces $$ var(X_1 + X_2) = 2\sigma^2_X, $$ sin embargo, $$ var(2X_1) = 2^2var(X_1) = 4 \sigma^2_X. $$ A saber, $2X_1$ es intuitivamente una "ampliación" de su variable aleatoria, por lo que su valor esperado y su varianza son dos veces mayores que los del original, mientras que la suma de dos variables aleatorias independientes tiene una distribución diferente. La distribución de $X_1 + X_2$ se puede encontrar por convolución, donde para $2X_1$ sólo necesitarás la fórmula de transformación, ya que no sumas diferentes variables aleatorias, sino que sólo transformas linealmente la original.