Se sabe que el hamiltoniano de Kitaev y su estado básico de espín-líquido rompen la $SU(2)$ simetría de giro-rotación . Entonces, ¿cuál es el grupo de simetría de espín-rotación para el modelo Kitaev?
Es obvio que el Hamiltoniano de Kitaev es invariante bajo $\pi$ rotación en torno a los tres ejes de espín, y en algunos trabajos recientes, los autores dan el "grupo"(véase el Comentarios al final) $G=\left \{1,e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z} \right \}$ , donde $(e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z})=(i\sigma_x,i\sigma_y,i\sigma_z )$ con $\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}$ y $\mathbf{\sigma}$ siendo las matrices de Pauli.
Pero ¿qué tal el grupo de cuaterniones $Q_8=\left \{1,-1,e^{i\pi S_x}, e^{-i\pi S_x},e^{i\pi S_y},e^{-i\pi S_y},e^{i\pi S_z}, e^{-i\pi S_z}\right \}$ con $-1$ representando el $2\pi$ operador de giro-rotación. Por otro lado, consideremos el grupo diédrico $D_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \right \}$ y estos $SO(3)$ también pueden implementar la $\pi$ rotación del giro.
Entonces, cuál eliges, $G,Q_8$ o $D_2$ ? Observe que $Q_8$ es un subgrupo de $SU(2)$ , mientras que $D_2$ es un subgrupo de $SO(3)$ . Además, $D_2\cong Q_8/Z_2$ , al igual que $SO(3)\cong SU(2)/Z_2$ , donde $Z_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right \}$ .
Observaciones: El $G$ definida anteriormente es incluso no un grupo ya que, por ejemplo, $(e^{i\pi S_z})^2=-1\notin G$ .
Observaciones: Obsérvese que $D_2$ puede no ser visto como un subgrupo de $Q_8$ , al igual que $SO(3)$ puede no ser visto como un subgrupo de $SU(2)$ .
Suplemento: Como ejemplo, consideremos un sistema de dos espines-1/2. Queremos saber qué tipo de funciones de onda preserva la $Q_8$ simetría de rotación de espín de este modelo más simple. Por comodidad, dejemos que $R_\alpha =e^{\pm i\pi S_\alpha}=-4S_1^\alpha S_2^\alpha$ representan el $\pi$ operadores de rotación de espín alrededor de los ejes de espín $\alpha=x,y,z$ , donde $S_\alpha=S_1^\alpha+ S_2^\alpha$ . Por lo tanto, al decir una función de onda $\psi$ tiene $Q_8$ simetría de giro-rotación, nos referimos a $R_\alpha\psi=\lambda_ \alpha \psi$ con $\left |\lambda_ \alpha \right |^2=1$ .
Tras un sencillo cálculo, encontramos que a $Q_8$ función de onda simétrica de espín-rotación $\psi$ podría sólo toma un de las siguientes 4 formas posibles:
$(1) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle-\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$ con $(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,1,1)$ (Estado singlete con completo $SU(2)$ simetría de espín-rotación), que es aniquilada por $S_x,S_y,$ y $S_z$ ,
$(2) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle+\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$ con $(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,-1,1)$ que es aniquilado por $S_z$ ,
$(3) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle-\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$ con $(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,-1,-1)$ que es aniquilado por $S_x$ ,
$(4) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle+\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$ con $(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,1,-1)$ que es aniquilado por $S_y$ .
Tenga en cuenta que cualquier tipo de superposición de los estados anteriores sería ya no será una función propia de $R_\alpha$ y por lo tanto rompería el $Q_8$ simetría de giro-rotación.
