$\alpha$ es un elemento que genera una extensión de campo de $F$ de grado 3. ¿Cómo puedo demostrar que $\alpha^2$ genera la misma extensión?

Question

Este es un ejercicio de Artin: Supongamos $\alpha$ es un elemento que genera una extensión de campo de $F$ de grado 3. ¿Cómo puedo demostrar que $\alpha^2$ genera la misma extensión?

Se agradecerá cualquier opinión al respecto.

Answer 1

Deje que su título $3$ extensión sea $K$ .

Supongamos que $\alpha^2 \in F$ . Entonces mira el polinomio $$f(x) = x^2 - \alpha^2$$

Entonces $f(x) \in F[x]$ . Sabemos que $\alpha \not \in F$ y así $f(x)$ no tiene una raíz en $F$ que es suficiente para $f(x)$ sea irreducible porque es de grado $2$ . Pero entonces tenemos que $[F(\alpha):F] = 2 \neq 3$ una contradicción.

Answer 2

Dejemos que $L$ sea la extensión de grado $3$ , usted tiene $[L:F]=[L:F(\alpha^2)][F(\alpha^2):F]=3$ . Esto implica que $[F(\alpha^2):F]=1$ o $3$ . Supongamos que $[F(\alpha^2):F]=1$ Por lo tanto $\alpha^2\in F$ y $\alpha$ es la raíz de $X^2-\alpha^2$ Así que $[L:F]=2$ contradicción. Así, $[F(\alpha^2):F]=3$ .