topología compacta-abierta en $B(H)$

Question

En topología, es habitual utilizar el topología compacta-abierta en el conjunto de mapas continuos entre dos espacios topológicos dados.

Dejemos ahora $H$ sea un espacio de Hilbert y $B(H)$ el conjunto de mapas lineales continuos de $H$ a sí mismo. En el análisis funcional, hay muchas topologías que a la gente le gusta usar en $B(H)$ . ¿Coincide alguna de ellas con la topología compacta-abierta? En caso afirmativo, ¿cuál?

Answer 1

Es fácil ver que la topología compacta-abierta concuerda con la topología del operador fuerte en subconjuntos normados de $B(H)$ . Bill Johnson lo mencionó en un comentario. Creo que esto demuestra que de todas las topologías "habituales" en $B(H)$ los únicos candidatos a estar de acuerdo con la topología compacta-abierta son las topologías fuerte y ultrafuerte.

Sin embargo, creo que compact-open es estrictamente más fuerte que ultrastrong (que a su vez es estrictamente más fuerte que strong). Para ver esto, fijar una base ortonormal $(e_n)$ de $H$ y considerar el conjunto compacto $K = \{0\} \cup\{n^{-1/2}e_n: n = 1, 2, \ldots\} \subset H$ . Entonces el conjunto $U$ de todos los operadores en $B(H)$ que toman $K$ en la bola unitaria abierta de $H$ es abierta para la topología compacta-abierta, pero se ve fácilmente que no es fuertemente abierta --- dado cualquier operador $A$ en $U$ y cualquier lista finita de vectores $v_1, \ldots, v_k \in H$ puede encontrar fácilmente $B \in B(H)$ tal que $Bv_i = Av_i$ para $1 \leq i \leq k$ pero $\|Be_n\| > n^{1/2}$ para una cantidad suficientemente grande de $n$ . (Para los grandes $n$ el vector $e_n$ es casi ortogonal a ${\rm span}(v_1, \ldots, v_k)$ Así que tenemos libertad para definir $Be_n$ .)

Me parece que un argumento similar muestra que el conjunto $U$ ni siquiera es ultrafuertemente abierta. Dado un número finito de operadores positivos $C_i$ en el predio de $B(H)$ ya que sus valores propios son sumables al cuadrado, como $n$ va al infinito vamos a tener ${\rm max}_i \langle C_i e_n,e_n\rangle = o(n^{-1/2})$ para que de nuevo pueda encontrar $B$ que se aproxima al comportamiento de $A$ cuando se comprueban con cada $C_i$ pero tiene $\|Be_n\| > n^{1/2}$ para algunos grandes $n$ . Es sólo un esbozo, pero creo que la idea es sólida.

Answer 2

Como comentario introductorio, se ha realizado una cantidad considerable de trabajos sobre topologías de espacios de operadores en espacios de Hilbert, en particular en lo que respecta a su relevancia para la teoría de las álgebras de von Neumann. En mi opinión, hay dos criterios esenciales que se deben aplicar: la topología debe ser completa y su dual debe ser un espacio natural de operadores. La topología abierta compacta no cumple el segundo: su dual es el espacio de operadores de rango finito. (Por cierto, el candidato natural más inmediato, la topología de la norma, también pasa la primera pero falla la segunda -en este caso, el dusl es demasiado grande). Otras candidatas (que ya se han mencionado) -las topologías débil, fuerte, ultradébil y ultrafuerte- tampoco superan esta prueba. Una familia adecuada de topologías naturales que pasan ambas pruebas con éxito (en la que los espacios duales son el espacio de los operadores nucleares) se introdujo hace 40 años en el documento de Comptes Rendues "Topologies dans l'espace des operateurs sur les espaces de Hilbert" (1973). Se trata de las topologías más finas localmente convexas que concuerdan con la topología de convergencia compacta sobre la bola unitaria. (Hay cuatro, ya que podemos considerar la convergencia con respecto a las topologías débiles o fuertes y también sus versiones simétricas, es decir, aquellas para las que la operación de toma de adjuntos es continua). Algunas de sus propiedades básicas se pueden encontrar en el artículo anterior.

Esto demuestra que la respuesta a tu pregunta es siempre negativa y responde a la continuación (¿implícita?): ¿cuál es la topología "correcta" en $B(H)$ ?