Valor esperado de la vida útil total acumulada (comprensión de la brecha en la prueba)

Question

El problema:

Entiendo la primera línea $E(T) = ...$

Sin embargo, no entiendo los dos pasos siguientes. Siento que casi lo entiendo.

Es como si estuviéramos factorizando un $\sum_{j=1}^{20}$ pero cómo manipuló $\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^i$ para conseguir esto?

¿Significa esto que $\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^i = \sum_{j=1}^{20}\sum_{i=j}^{20}$ ? ¿Cómo funciona eso?

Además, ¿qué pasa con $\sum_{i=j}^{20}X_j + 30X_j = (51 - j)X_j$ ?

Puedo ver que la suma $\sum_{i=j}^{20}$ va a correr $20 - j$ tiempos, ¿verdad?

Entonces, ¿no sería $(20 - j)X_j + 30X_j = 20X_j + 30_j - jX_j = (50 - j)X_j$ ?

O tal vez tengo que echar un segundo vistazo a $E(X_i) = \mu/(51 - i)$ de la primera diapositiva?

También, $X_1$ es exponencial con tasa $50/\mu$ porque se suman los 50 $1/\mu$ ?

confundido

Answer 1

El intercambio de la doble suma se puede ver escribiendo los términos con el $\cdots$ notación: $$ \begin{align} \sum_{i=1}^{20} \sum_{j=1}^i X_j&=(X_1)+(X_1+X_2)+(X_1+X_2+X_3)+\cdots (X_1+\cdots X_20)\\ &=20\cdot X_1+19\cdot X_2+\cdots+1\cdot X_{20}\\ &=\sum_{j=1}^{20}(20-j+1)\cdot X_j\\ &=\sum_{j=1}^{20} X_j\sum_{i=j}^{20}1\\ &=\sum_{j=1}^{20}\sum_{i=j}^{20}X_j \end{align} $$ porque $\sum_{i=j}^{20}1=(20-j+1)$ (nota que $X_j$ no depende de $i$ ).

También $$ \sum_{i=j}^{20}X_j +30X_j=(20-j+1)X_j+30X_j=(51-j)X_j. $$

Answer 2

Considere una suma doble

$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^ix_{i,j}\;.$$

Puedes pensar que es la suma de un conjunto triangular de términos dispuestos así:

$$\begin{array}{cc} x_{1,1}&\\ x_{2,1}&x_{2,2}\\ x_{3,1}&x_{3,2}&x_{3,3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ x_{19,1}&x_{19,2}&x_{19,3}&\dots&x_{19,19}\\ x_{20,1}&x_{20,2}&x_{20,3}&\dots&x_{20,19}&x_{20,20} \end{array}$$

Para un fijo $i$ , $\sum_{j=1}^ix_{i,j}$ calcula la suma de las entradas de la fila $i$ de la matriz, y estas sumas de filas se suman por la suma externa para dar el total.

Supongamos ahora que se quiere sumar el mismo array primero por columnas. Los números de fila de las entradas de la columna $j$ correr de $j$ a través de $20$ por lo que la suma de la columna $j$ es

$$\sum_{i=j}^{20}x_{i,j}\;.\tag{1}$$

Para obtener la suma de todas las entradas, basta con sumar $(1)$ sobre todo $20$ columnas para obtener

$$\sum_{j=1}^{20}\sum_{i=j}^{20}x_{i,j}\;.$$

Este tipo de intercambio es un truco muy útil: a veces las sumas de filas son fáciles y las de columnas son difíciles, y a veces es al revés. (Por supuesto, a veces ambas son difíciles, por desgracia).