Cambios de determinantes mediante demostraciones de operaciones de fila elementales

Question

No he conseguido encontrar una demostración que pueda entender sobre el hecho.

Me gustaría tener una demostración sobre estas propiedades.

1. Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante

2. Si tengo una matriz A, entonces si una fila a -> 3a, también det(A)

3. La otra operación de fila elemental no tiene efecto sobre det(A)

Muchas gracias de antemano.

PD: Mis conocimientos de Álgebra Lineal son casi 0, acabo de empezar el curso.

Answer 1

El determinante es el volumen con signo de la imagen del paralelepípedo abarcado por cualquier base ortonormal bajo la transformación lineal . No importa cualquier otra definición que hayas escuchado, esa es la que permite entender lo que está pasando.

¿Qué quiero decir con esto? Bien, tomemos el conjunto de aristas $e_1,e_2,e_3,\ldots$ donde $e_i$ es el $i$ -vecotr de la unidad - el vector con sólo ceros y un 1 en la posición $i$ . Abarcan un paralelepípedo (en tres dimensiones, es sólo un cubo, en dos es un cuadrado y así sucesivamente).

Ahora, el $i$ -La fila número uno de una matriz define el vector que $e_i$ está mapeado. Por lo tanto, el paralelepípedo definido por los vectores $e_1,e_2,\ldots$ se mapea a la definida por los vectores $Ae_1,Ae_2,\ldots$ . El determinante no es más que el volumen de este paralelepípedo. Bien, eso no es bastante correcto, porque el determinante puede ser negativo. Es el firmado volumen.

El signo está definido por el orden de los vectores y es un poco incómodo al principio. Para los espacios vectoriales tridimensionales, es fácil de relacionar: Si intentas mostrar $e_1,e_2,e_3$ con la mano denotando el primer vector con el pulgar, el segundo con el índice y el tercero con el dedo medio (las puntas de los dedos en la dirección de los vectores), entonces tienes que utilizar la mano derecha. Ahora haz lo mismo con los vecotrs $Ae_1,Ae_2,Ae_3$ . Si necesitas usar la mano derecha, el determinante es positivo, si necesitas usar la izquierda, es negativo.

• Esto te da una heurística para el primer punto: Intenta intercambiar dos filas en esta imagen (esto corresponde a cambiar dos dedos) y verás que si antes podías usar la mano derecha, ahora tienes que usar la izquierda y viceversa. De ahí que el signo cambie.

Esto no es una prueba para dimensiones superiores, pero la idea es similar. El volumen firmado se refiere a la orientación y eso cambia si se cambia de fila.

• Esto también te dice lo que ocurre si multiplicas una fila por algún número: multiplicas un lado del paralelepípedo por ese número y, por tanto, también el volumen.

• Por último, esto también indica por qué no importa añadir filas: Ya que el volumen del paralelepípedo viene dado por la longitud de un lado por la altura de otro lado por la altura de otro lado, etc. Ahora bien, añadir un lado a otro lado no cambia la altura entre estos dos lados, porque -por definición- la altura es perpendicular al vector de ese lado. Como no cambia la altura y la longitud del primer lado sigue siendo la misma, el volumen sigue siendo el mismo. Además, no cambia la orientación de los vectores.