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Pregunta de combinatoria con cerraduras.

Tengo una pregunta sobre el siguiente problema.

Un detective de crímenes es capaz de desempolvar una cerradura en busca de huellas dactilares y determina que los números 3,4,5 y 8 han sido pulsados repetidamente y los demás números no. Si la cerradura es un teclado numérico estándar de 10 dígitos, y la combinación contiene 5 lugares, ¿cuántas posibles contraseñas diferentes podría probar antes de encontrar la correcta?

Lo siguiente es mi reclamación.

Es natural pensar que los cuatro números se pulsan repetidamente, por lo que cada número se utiliza al menos una vez.

Así que, utilizando el principio fundamental de conteo con 5 lugares, diría que el primer número podría ser cualquiera de los 4 números.

Aquí es donde me pongo dudoso.

El siguiente número puede ser o no la repetición del anterior, así que no estoy seguro de si llamarlo 4 opciones o 3 opciones.

Ignorando mi confianza, creo que la respuesta es $4*4!$ lo que implica el hecho de que hay 24 combinaciones de números con 4 opciones de números que podrían haberse repetido.

Sin embargo, lo que me preocupa es la posición del número repetido.

Sé que las combinaciones de la cerradura son sensibles al orden, por lo que no estoy seguro de si se repite el segundo número, el tercero, etc.... y no puedo decir numéricamente si eso hace la diferencia o no.

¿Puedo tener alguna confirmación?

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DiGi Puntos 1925

Estás pensando en las cosas correctas, pero no de la manera adecuada. Lo primero que hay que hacer, como tú, es darse cuenta de que, al tratarse de un $5$ -que contiene sólo $4$ dígitos distintos, se debe repetir exactamente uno de los dígitos, y hay $4$ formas de elegirlo. El siguiente paso -o al menos el que me parece más natural- es contar las formas de colocar esos dígitos coincidentes en la clave. Hay $5$ posiciones en la llave, y tenemos que elegir $2$ de ellos para los dígitos coincidentes; podemos hacerlo en $\binom52$ maneras. Eso deja $3$ puestos, que pueden ser ocupados en cualquiera de $3!$ órdenes por el resto de $3$ dígitos. De este modo, obtenemos un total de

$$4\cdot\binom52\cdot3!=4\cdot10\cdot6=240$$

posibles llaves.

Su cifra de $4\cdot4!$ puede interpretarse de varias maneras. Sin embargo, una de las más naturales es la siguiente. Primero tecleamos el $4$ dígitos en algún orden; eso puede hacerse en $4!$ maneras. A continuación, elegimos cualquiera de las $4$ dígitos para rellenar la quinta y última posición. En otras palabras, has contado las teclas en las que el dígito repetido llega al final, faltando las que no lo hacen.

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