¿Ampliando un ket en la base de la posición?

Question

Mi libro de texto dice que para encontrar el ket $|\rangle$ en la misma base de posición que el ket $|ø\rangle$ hacemos lo siguiente: $$|\rangle=\int dø|ø\rangle \langle ø|\rangle$$ En primer lugar puede $|ø\rangle$ ¿es un ket? es decir, esta expresión sólo pone $|\rangle$ en la misma base que $|ø\rangle$ independientemente de los componentes de $|ø\rangle$ ?

En segundo lugar, mi libro de texto dice que hay que colocar $|\rangle$ en la base de la posición hacemos lo siguiente: $$|\rangle=\int d^3r\ |\mathbf{r}\rangle\langle \mathbf{r}|\rangle$$ ¿Por qué hemos ganado de repente un signo cúbico?

¿Estamos tomando la integral sobre nada? es decir, las integrales que estamos haciendo son simplemente $\int dø$ y $\int d^3r$ ?

(Soy nuevo en este tipo de física/matemáticas y soy autodidacta así que por favor pueden mantener la relatividad de las explicaciones simples) gracias

Answer 1

Así que, en primer lugar, la primera ecuación que has dado sólo es correcta, si el $|ø\rangle$ formar un base . No tiene nada que ver con "en qué base están".

La forma más fácil de entender esto es probablemente con una analogía vectorial en 3D. Así, si $b_i$ , $i=1\dots3$ forman una base, para cualquier vector $v$ es legítimo escribir $$v=\sum_{i=1}^3 b_i (b_i\cdot v)$$ Allí, el $b_i\cdot v$ son los componentes de $v$ en la representación del $b_i$ .

Lo mismo ocurre con los sujetadores y los kets. Es "sólo" no 3d pero tiene una dimensión infinita, por lo que si tenemos una base de infinito $|ø\rangle$ , $ø\in \mathbb{R}$ o $|r\rangle$ , $r\in \mathbb{R}^3$ denotan el producto escalar ( $a\cdot b$ ) utilizando la notatión de dirac ( $\langle a|b\rangle$ ), y escribiendo integrales en lugar de sumas obtenemos las fórmulas dadas por ti (matemáticamente esto no es trivial). Por lo tanto, la $\langle r|\psi\rangle$ son los componentes en la base de la posición.

Answer 2

En cuanto a la primera parte de su pregunta, acaban de insertar un conjunto completo de bases porque $|\phi>$ es una base en algún espacio de Hilbert de dimensión infinita (en su caso), por lo que la suma (integral) de todas esas bases es la identidad en el espacio de Hilbert. Nótese que en la segunda parte

$\langle r|\phi\rangle$ = $\phi(r)$ .