Sea $f$ meromorphic en $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$. ¿Por qué tiene que tener solamente finito muchos polacos $f$?
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Respuesta
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Por definición, un polo es una singularidad aislada, y así cada polo tiene un barrio que no contiene otros polos además de a sí mismo. Así el conjunto de todos los polos es discreto.
El conjunto de los polos también está cerrada, ya que su complemento, el conjunto de puntos en el que $f$ es holomorphic, está abierto. (Cualquier punto donde $f$ es holomorphic tiene un barrio restringido a la que $f$ es holomorphic.)
Desde $\mathbb C \cup \{\infty\}$ es compacto, cualquier discreto y cerrado subconjunto es discreto y compacto, por lo tanto finito.
(Tenga en cuenta que el razonamiento de los dos primeros párrafos se aplica a una función de meromorphic en cualquier subconjunto abierto de la esfera de Riemann. E. g. una función de meromorphic en $\mathbb C$ puede tener una infinidad de polos, sino que deben formar un cerrado y discreto subconjunto de $\mathbb C$, y por lo tanto sólo puede haber un número finito en cualquier subconjunto acotado, es decir, que se debe acumular en $\infty$. Un ejemplo típico es dado por $f(z) = 1/\sin z$.)
