En una familia con dos hijos, ¿cuáles son las probabilidades, si uno de los hijos es una niña, de que ambos hijos sean niñas?

Question

En una familia con dos hijos, ¿cuáles son las posibilidades, si uno de los hijos es una niña, de que ambos hijos sean niñas?

Acabo de sumergirme en un libro, The Drunkard's Walk - How Randomness Rules Our Lives, de Leonard Mlodinow, Vintage Books, 2008. En la p.107, Mlodinow dice que las posibilidades son 1 de 3.

Me parece obvio que las posibilidades son 1 de 2. ¿Estoy en lo correcto? ¿No es esto exactamente análogo a tener un tazón con un número infinito de canicas, la mitad negras y la mitad rojas? Sin mirar, saco una canica negra. La probabilidad de que la segunda canica que saque sea negra es 1/2.

Answer 1

En una familia con 2 hijos hay cuatro posibilidades:

1) el primer hijo es un niño y el segundo hijo es un niño (bb)

2) el primer hijo es un niño y el segundo hijo es una niña (bg)

3) el primer hijo es una niña y el segundo hijo es un niño (gb)

4) el primer hijo es una niña y el segundo hijo es una niña (gg)

Dado que se nos dice que al menos uno de los hijos es una niña, hay tres posibilidades: bg, gb o gg. De esas tres posibilidades, la única con dos niñas es gg. Por lo tanto, la probabilidad es $\frac{1}{3}$.

Answer 2

Creo que esta pregunta confunde a mucha gente porque hay una falta de contexto intuitivo, así que intentaré proporcionarlo.

Supongamos que hay una fiesta de cumpleaños a la que están invitadas todas las niñas (y ninguno de los niños) en un pequeño pueblo. Si te encuentras con una madre que ha dejado a un niño en esta fiesta de cumpleaños y que tiene dos hijos, la probabilidad de que tenga dos niñas es de $1/3$. ¿Por qué? $3/4$ de las madres con dos hijos tendrán una hija en la fiesta de cumpleaños, las que tienen dos niñas ($1/4$ del total de madres con dos hijos) y las que tienen una niña y un niño ($1/2$ del total de madres con dos hijos). De estos $3/4$ de las madres, $1/3$ tienen dos niñas.

Por otro lado, si la fiesta de cumpleaños es solo para las niñas de quinto grado, obtienes una respuesta diferente. Suponiendo que no hay hermanos que estén en quinto grado, la respuesta en este caso es $1/2$. La niña en quinto grado es una niña, pero la otra niña tiene una probabilidad de $1/2$ de ser una niña. Las situaciones de este tipo surgen en la vida real mucho más comúnmente que situaciones del otro tipo, por lo que la respuesta de $1/3$ es bastante no intuitiva.

Answer 3

Creo que la razón por la que estos acertijos suelen ser tan confusos es que se basan en las limitaciones del idioma inglés en lugar de en dificultades matemáticas. Por supuesto, esto no es único del inglés, y creo que deberías poder encontrar acertijos similares en prácticamente cualquier idioma natural.

Aquí tienes un ejemplo que muestra la dificultad de una manera más clara. Primero, considera el siguiente acertijo similar:

• Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Lindsay es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?

En clases de probabilidad básica, te enseñan a responder esto haciendo una tabla de las cuatro opciones

  Robin    Lindsay
  B        B
\* B        G
  G        B
\* G        G

Las filas marcadas con asterisco son aquellas en las que Lindsay es una niña, y calculamos a partir de ellas que la probabilidad de que ambos niños sean niñas es de 1/2.

Ahora considera este acertijo

• Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Al menos uno de ellos es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?

El método de probabilidad elemental da la siguiente tabla y una probabilidad de 1/3. La diferencia es que ganamos una fila más, en comparación con el acertijo anterior.

  Robin    Lindsay
  B        B
\* B        G
\* G        B
\* G        G

Después de ver esto, puedes ver que la dificultad del acertijo original surge porque, en inglés, "uno de los niños" puede significar varias cosas diferentes:

• "uno" puede significar "un particular". Si lees el acertijo original de esta manera, se vuelve análogo al primer acertijo que escribí, y la respuesta será 1/2.

• "uno" puede significar "al menos uno". Si lees el acertijo original de esta manera, se vuelve análogo al segundo acertijo que escribí, y la respuesta es 1/3.

• "uno" puede significar "exactamente uno". Si lees el acertijo original de esta manera, la respuesta es 0.

Hay una convención común en matemáticas de que "uno" generalmente significa "al menos uno". Por ejemplo, este es el sentido previsto en la siguiente oración, que es un ejemplo típico del inglés matemático: "si un número natural $n$ es múltiplo de un número primo $p$, y $n = ab$, entonces uno de $a$ y $b$ es divisible por $p$." No lo leeríamos como diciendo que exactamente uno de $a$ y $b$ es divisible por $p.

No creo que esta convención sea muy común en el inglés no matemático. Si digo, "uno de mis hijos es una niña", en inglés normal esto significa que el otro es un niño. Discrepancias similares entre el inglés matemático y no matemático surgen con nuestro uso de la palabra "o" y nuestro uso de la frase "si/entonces". Cuando enseñamos matemáticas, tenemos que dedicar tiempo a explicar este argot matemático a los estudiantes, para que puedan usar las mismas convenciones de inglés que nosotros.

Los acertijos de probabilidad como el que estás preguntando se basan en estas diferencias de significado en inglés, en lugar de en un problema lógico o matemático. En ese sentido, no son realmente acertijos, son solo trucos.

Answer 4

Por favor, ignora los comentarios antiguos: he cambiado radicalmente mi respuesta. Es largo, pero aguanta conmigo - después de leer esta respuesta, deberías sentirte intuitivamente cómodo con casi todas las demás falacias probabilísticas, no solo esta.

Lo primero y más importante es definir lo que queremos decir con "probabilidad". Vamos a definirlo como "el porcentaje esperado de resultados positivos al repetir una observación sobre una muestra grande" (Adelante, léelo de nuevo, más despacio). Además, llamemos al método que usamos para elegir esta muestra grande el "modelo".

Esto puede sonar trivial, pero tiene algunas implicaciones importantes. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que mueras antes de los 40 años? Según nuestra definición, esta pregunta no tiene sentido: no podemos observarte múltiples veces antes de los cuarenta años y registrar cuántas veces mueres. En cambio, observamos a otras personas menores de 40 años, y registramos cuántas de ellas mueren.

Así que digamos que observamos a todas las demás personas en la tierra menores de 40 años (nuestro modelo), y encontramos que la mitad de ellas mueren antes de cumplir los cuarenta. ¿Significa esto que la probabilidad de que mueras antes de los 40 es del 50%? Bueno, ¡según este modelo, lo es! Sin embargo, este no es un modelo justo. Quizás vives en un país del primer mundo - ahora cuando revisamos nuestro modelo para incluir solo a personas menores de 40 en países del primer mundo, tus probabilidades se convierten en un mucho menos sombrío 1/10†. Pero tú tampoco eres fumador, no vives en la ciudad, y andas en bicicleta los domingos con tu esposa y tu suegra loca, ¡lo que hace que tus posibilidades sean de 123/4567! Mucho mejor... sin embargo, nuestro modelo todavía no tiene en cuenta que también eres un paracaidista ávido ;)
† Estoy sacando estos números de la nada, no son estadísticas reales.

Entonces, el punto es, pedir una "probabilidad" solo tiene sentido en el contexto de un cierto modelo - una forma de repetir nuestra observación muchas veces. Sin eso, pedir una probabilidad carece de significado.

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Ahora, volvamos a la pregunta original. Antes de poder asignar una probabilidad, debemos elegir un modelo; ¿cómo estamos eligiendo las familias a partir de las cuales se toma la muestra? Veo dos opciones obvias, que conducirán a respuestas diferentes:

1. Considerar solo familias que tienen dos hijos, uno de los cuales es una niña, y elegir uno al azar.
2. Considerar solo niñas que tienen exactamente un hermano/a, y elegir uno al azar.

¿Ves la diferencia? En el primer caso, cada familia tiene la misma probabilidad de ser elegida. Sin embargo, en el segundo caso, las familias con dos niñas son más propensas a ser elegidas que las familias con solo una niña, porque cada niña tiene la misma probabilidad de ser elegida: las familias con dos niñas han duplicado sus posibilidades al tener dos niñas. Si los niños fueran boletos de rifa, habrían comprado dos boletos mientras que las familias con una niña compraron solo uno.

Por lo tanto, deberíamos esperar que las probabilidades en estos dos casos sean diferentes. Calculemoslas de manera más rigurosa (escribiendo BG para significar "nació un niño, luego una niña"):

1. Hay tres tipos de familias igualmente probables: BG, GB y GG (BB se eliminó de la consideración, porque no tienen niñas). Dado que solo una de las tres tiene dos niñas, nuestras posibilidades de tener dos niñas son 1/3.
2. Tenemos las mismas posibilidades que antes, pero ahora GG es dos veces más probable que BG o GB. Por lo tanto, las probabilidades son GG: 2/4, GB: 1/4 y BG: 1/4, lo que significa que la probabilidad de tener una hermana es de 2/4 = 1/2 (alternativamente, podríamos haber notado que solo hay dos posibilidades igualmente probables para el hermano/a: niño o niña).

Aquí yace la falacia: la intuición asume que nuestro modelo es el segundo, pero la forma en que se formula el problema sugiere fuertemente el primero. Cuando pensamos en términos de "elegir aleatoriamente una familia (entre un gran número de familias)", nuestra intuición encaja perfectamente con el resultado.

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Veamos otro problema similar

En una familia de dos hijos, donde el hijo mayor es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas?

Una vez más, puedo ver dos modelos diferentes y plausibles para observar nuestra muestra aleatoria:

1. Considerar solo familias con dos hijos, el mayor de los cuales es una niña, y elegir uno al azar.
2. Considerar solo niñas que tienen exactamente un (hermano/a menor), y elegir uno al azar.

Entonces una vez más, la pregunta sugiere fuertemente el primer modelo, aunque se podrían hacer argumentos a favor de cualquiera. Sin embargo, cuando realmente calculamos la probabilidad...

1. Igual que antes, pero también hemos eliminado BG, donde el primer hijo/a era un niño. Esto deja solo dos posibilidades igualmente probables, GB y GG. Así, las posibilidades son 1/2.
2. También hemos eliminado BG de este caso, dejando GB y GG. Sin embargo, a diferencia de la pregunta original, GG ya no es dos veces más probable, ya que el hijo/a menor ya no puede ser el que se eligió aleatoriamente. Por lo tanto, GB y GG son igualmente probables, y nuevamente tenemos una probabilidad de 1/2 (alternativamente, podríamos haber notado que solo hay dos posibilidades igualmente probables para el hermano/a: niño o niña).

...descubrimos que la elección entre estos dos modelos no importa, ¡porque en este caso ambos tienen la misma probabilidad! Entre las familias de dos hijos con una hija mayor, no importa si elegimos aleatoriamente la familia o a la hija mayor, porque en ambos casos hay solo uno de cada uno por familia.

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Espero que todo haya tenido sentido. Para puntos extra, intenta aplicar este razonamiento al problema de Monty Hall. ¿Cuál es nuestro modelo - cómo estamos haciendo observaciones repetidas? ¿Por qué choca con nuestra intuición?

Para aún más puntos extra, intenta averiguar la siguiente pregunta; las matemáticas no son demasiado difíciles, pero me llevó mucho tiempo descubrir por qué, intuitivamente, la respuesta debería ser correcta:

En una familia de dos hijos, uno de los cuales es una niña llamada Florida, ¿cuáles son las posibilidades de que ambos sean niñas?

(Si tienes problemas, publica una pregunta y deja un enlace en los comentarios, y trataré de responderla lo mejor que pueda :) )

Answer 5

Aquí hay alguna idea.

Supongamos que se muestrean $4n$ familias con dos hijos, donde $n$ es un entero muy grande. Entonces, con una probabilidad muy alta, alrededor de $n$ de ellas tienen dos niños, alrededor de $n$ tienen dos niñas y alrededor de $2n$ tienen una niña y un niño. Dado que ignoras las familias con dos niños, la probabilidad deseada se da por $n/(3n) = 1/3.

EDICIÓN: La solución anterior corresponde a la siguiente situación. Visitas un gran número de familias. En cada familia, compruebas si hay dos niños. Si no, ignoras esta familia. Si sí, compruebas si uno de los niños es una niña. Si no, ignoras esta familia. Si sí, compruebas si ambos niños son niñas.

EDICIÓN: De todos los ejemplos del OP, solo uno es relevante aquí. Es decir, "Visito esta familia. Sé que tienen 2 hijos. Una de ellos, una niña, entra en la habitación. ¿La probabilidad de que el segundo hijo también sea una niña es 1/2, no?” Bueno, en esta situación la probabilidad es efectivamente de $1/2$, asumiendo la siguiente interpretación. Visitas un gran número de familias. En cada familia, compruebas si hay dos niños. Si no, ignoras esta familia. Si sí, esperas a que uno de los niños entre en la habitación. Si es un niño, ignoras esta familia; de lo contrario, compruebas si ambos niños son niñas. Es fácilmente entendible que esto conduce a una probabilidad de $1/2$.