En una familia con dos hijos, ¿cuál es la probabilidad, si uno de los hijos es una niña, de que ambos sean niñas?

Question

En una familia con dos hijos, ¿cuál es la probabilidad, si uno de los hijos es una niña, de que ambos sean niñas?

Acabo de sumergirme en un libro, El andar del borracho - Cómo el azar gobierna nuestras vidas , de Leonard Mlodinow, Vintage Books, 2008. En la página 107 Mlodinow dice que las posibilidades son de 1 entre 3.

Me parece obvio que las posibilidades son de 1 entre 2. ¿Estoy en lo cierto? ¿No es esto exactamente análogo a tener un cuenco con un número infinito de canicas, la mitad negras y la mitad rojas? Sin mirar, saco una canica negra. La probabilidad de que la segunda canica que saco sea negra es 1/2.

Answer 1

En una familia con 2 hijos hay cuatro posibilidades:

1) el primer hijo es un niño y el segundo es un niño (bb)

2) el primer hijo es un niño y el segundo es una niña (bg)

3) el primer hijo es una niña y el segundo es un niño (gb)

4) el primer hijo es una niña y el segundo es una niña (gg)

Dado que se nos da que al menos un niño es una niña, hay tres posibilidades: bg, gb o gg. De esas tres posibilidades la única con dos niñas es gg. Por tanto, la probabilidad es $\frac{1}{3}$ .

Answer 2

Creo que esta pregunta confunde a mucha gente porque falta un contexto intuitivo.

Supongamos que hay una fiesta de cumpleaños a la que están invitadas todas las niñas (y ningún niño) de una pequeña ciudad. Si te encuentras con una madre que ha dejado a un niño en esta fiesta de cumpleaños y que tiene dos hijos, la probabilidad de que tenga dos niñas es $1/3$ . ¿Por qué? $3/4$ de las madres con dos hijos tendrán una hija en la fiesta de cumpleaños, las que tienen dos niñas ( $1/4$ del total de madres con dos hijos) y las que tienen una niña y un niño ( $1/2$ del total de madres con dos hijos). De estas $3/4$ de las madres, $1/3$ tienen dos niñas.

En cambio, si la fiesta de cumpleaños es sólo para niñas de quinto grado, la respuesta es diferente. Suponiendo que no hay hermanos que estén ambos en quinto grado, la respuesta en este caso es $1/2$ . El niño de quinto grado es una niña, pero el otro niño tiene probabilidad $1/2$ de ser una chica. Situaciones de este tipo se dan en la vida real con mucha más frecuencia que situaciones del otro tipo, por lo que la respuesta de $1/3$ es bastante poco intuitivo.

Answer 3

Creo que la razón por la que estos rompecabezas son a menudo confusos es que se basan en las limitaciones de la lengua inglesa más que en cualquier dificultad matemática. Por supuesto, esto no es exclusivo del inglés, y creo que se pueden encontrar acertijos similares en casi cualquier idioma natural.

He aquí un ejemplo que pone de manifiesto la dificultad. En primer lugar, considere el siguiente rompecabezas similar:

• Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Lindsay es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean niñas?

En la clase de probabilidad elemental, te enseñan a responder esto haciendo una tabla con las cuatro opciones

  Robin    Lindsay
  B        B
\* B        G
  G        B
\* G        G

Las filas marcadas con estrellas son aquellas en las que Lindsay es una niña, y a partir de ellas calculamos que la probabilidad de que ambos niños sean niñas es 1/2.

Ahora considere este rompecabezas

• Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Al menos uno de ellos es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean niñas?

El método de la probabilidad elemental da la siguiente tabla, y una probabilidad de 1/3. La diferencia es que ganamos una fila más, en comparación con el acertijo anterior.

  Robin    Lindsay
  B        B
\* B        G
\* G        B
\* G        G

Después de verlos, se puede ver que la dificultad del rompecabezas original viene porque, en inglés, "one of the children" puede significar varias cosas diferentes:

• "uno" puede significar "un particular". Si lees el acertijo original así, se vuelve análogo al primer acertijo que escribí, y la respuesta será 1/2.

• "uno" puede significar "al menos uno". Si lees el acertijo original así, se vuelve análogo al segundo acertijo que escribí, y la respuesta es 1/3.

• "uno" puede significar "exactamente uno". Si lees el puzzle original así, la respuesta es 0.

En matemáticas es habitual que "uno" signifique "al menos uno". Por ejemplo, éste es el sentido que tiene la siguiente frase, que es un ejemplo típico del inglés matemático "si un número natural $n$ es un múltiplo de un número primo $p$ y $n = ab$ , entonces uno de $a$ y $b$ es divisible por $p$ ." No leeríamos esto como si dijéramos que exactamente uno de $a$ y $b$ es divisible por $p$ .

No creo que esta convención sea muy común en el inglés no matemático. Si digo "uno de mis hijos es una niña", en inglés normal significa que el otro es un niño. Las discrepancias entre el inglés matemático y el no matemático son similares cuando utilizamos la palabra "o" y la frase "si/entonces". Cuando enseñamos matemáticas, tenemos que dedicar tiempo a explicar este argot matemático a los alumnos, para que puedan utilizar las mismas convenciones inglesas que nosotros.

Los rompecabezas de probabilidad como el que preguntas se basan en estas diferencias de significado en inglés, más que en cualquier problema lógico o matemático. En ese sentido, no son realmente rompecabezas, son sólo trucos.

Answer 4

Por favor, ignore los comentarios anteriores - He cambiado radicalmente mi respuesta . Es largo, pero tened paciencia: después de leer esta respuesta, deberíais sentiros intuitivamente cómodos con casi todas las demás falacias probabilísticas, no sólo con ésta.

Lo primero y más importante es definir qué entendemos por "probabilidad". Definamos que significa "el porcentaje esperado de resultados positivos al repetir una observación en una muestra amplia" (Adelante, lee eso de nuevo, más despacio) . Además, vamos a llamar "modelo" al método que utilizamos para elegir esta gran muestra.

Esto puede parecer trivial, pero tiene algunas implicaciones importantes. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de morir antes de los 40 años? Según nuestra definición, esta pregunta no tiene sentido: no podemos observar usted varias veces antes de los cuarenta años y registrar cuántas veces usted morir. En su lugar, observamos a otras personas menores de 40 años, y registramos cuántas de ellos morir.

Supongamos que observamos a todas las personas de la Tierra por debajo de los 40 años (nuestro modelo) y descubrimos que la mitad de ellas mueren antes de llegar a los cuatro años. ¿Significa esto que la probabilidad de morir antes de los 40 es del 50%? Pues, según este modelo, sí. Sin embargo, no es un modelo justo. Si revisamos nuestro modelo para incluir sólo a las personas menores de 40 años en los países del primer mundo, las probabilidades se reducen a 1/10. † . ¡Pero tampoco eres fumador, ni vives en la ciudad, y andas en bicicleta los domingos con tu esposa y tu loca suegra, lo que hace que tus posibilidades sean 123/4567! Eso es mucho mejor... sin embargo, nuestro modelo sigue sin tener en cuenta que también eres un ávido paracaidista ;)
† Estoy sacando estas cifras de la nada, no son estadísticas reales.

Así que la cuestión es que pedir una "probabilidad" sólo tiene sentido en el contexto de un determinado modelo, una forma de repetir nuestra observación muchas veces. Sin eso, pedir una probabilidad no tiene sentido.

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Ahora, volviendo a la pregunta original. Antes de poder asignar una probabilidad, debemos elegir un modelo; ¿cómo vamos a elegir las familias de las que se tomará la muestra? Veo dos opciones obvias, que conducirán a diferentes respuestas:

1. Considere sólo las familias que tienen dos hijos, uno de los cuales es una niña, y elija uno al azar.
2. Considere sólo las niñas que tienen exactamente un hermano, y elija uno al azar.

¿Ves la diferencia? En el primer caso, todas las familias tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Sin embargo, en el segundo caso, las familias con dos niñas son más que las familias con una sola niña, porque cada chica tiene las mismas posibilidades de ser elegido: las familias con dos niñas han duplicado sus probabilidades al tener dos niñas. Si los niños fueran boletos de la rifa, habrían comprado dos boletos, mientras que las familias de una niña sólo compraron uno.

Por lo tanto, deberíamos esperar que las probabilidades en estos dos casos sean diferentes. Calculémoslas con más rigor (escribiendo BG para significar "nació niño, luego niña):

1. Hay tres tipos de familia igualmente probables: BG , GB y GG ( BB fue eliminado de la consideración, porque no tienen niñas) . Como sólo uno de los tres tiene dos niñas, nuestras posibilidades de tener dos niñas son 1/3 .
2. Tenemos las mismas posibilidades que antes, pero ahora GG es dos veces más probable que BG o GB . Así, las probabilidades son GG: 2/4 , GB: 1/4 y BG: 1/4 , lo que significa que la probabilidad de un hermano-niña es de 2/4 = 1/2 (como alternativa, podríamos haber señalado que sólo hay dos posibilidades igualmente probables para el hermano: niño o niña) .

Aquí radica la falacia: el modelo que nuestra intuición supone es el segundo, pero la forma en que está redactado el problema implica fuertemente el primero. Cuando pensamos en términos de "elegir al azar una familia (entre un gran número de familias)", nuestra intuición encaja perfectamente con el resultado.

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Veamos otro problema similar

En una familia de dos hijos, en la que el mayor es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas?

Una vez más, puedo ver dos modelos diferentes y plausibles para observar nuestra muestra aleatoria:

1. Considere sólo las familias con dos hijos, el mayor de los cuales es una niña, y elija uno al azar.
2. Considere sólo a las chicas que tienen exactamente un hermano (menor), y elija uno al azar.

Así que, una vez más, la pregunta implica fuertemente el primer modelo, aunque se pueden dar argumentos a favor de cualquiera de los dos. Sin embargo, cuando calculamos la probabilidad...

1. Lo mismo que antes, pero también hemos eliminado BG donde el primer hijo fue un niño. Esto deja sólo dos posibilidades igualmente probables, GB y GG . Por lo tanto, las posibilidades son 1/2 .
2. También hemos eliminado BG de este caso, dejando GB y GG . Sin embargo, a diferencia de la pregunta original, GG ya no es el doble de probable, puesto que el hijo menor ya no puede ser el elegido al azar. Por lo tanto, GB y GG son igualmente probables, y volvemos a tener una probabilidad de 1/2 (como alternativa, podríamos haber señalado que sólo hay dos posibilidades igualmente probables para el hermano: niño o niña) .

...encontramos que la elección entre estos dos modelos no importa, ¡porque en este caso ambos tienen la misma probabilidad! Entre las familias de dos hijos con una hija mayor, no importa si elegimos al azar la familia o la hija mayor, porque en ambos casos sólo hay uno de cada por familia.

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Espero que todo esto tenga sentido. Para obtener puntos extra, intenta aplicar este razonamiento al problema de Monty Hall. ¿Cuál es nuestro modelo, cómo hacemos las observaciones repetidas? ¿Por qué choca con nuestra intuición?

Incluso para más puntos de bonificación, intente resolver la siguiente pregunta; las matemáticas no son demasiado difíciles, pero me llevó mucho tiempo averiguar por qué, intuitivamente, la respuesta debería ser correcta:

En una familia con dos hijos, uno de los cuales es una niña llamada Florida, ¿cuál es la probabilidad de que haya dos niñas?

(Si tienes problemas, publica una pregunta y deja un enlace a ella en los comentarios, e intentaré responderla allí lo mejor que pueda :) )

Answer 5

Aquí tienes una idea.

Supongamos que la muestra $4n$ familias con dos hijos, donde $n$ es un número entero muy grande. Entonces, con una probabilidad muy alta, alrededor de $n$ de ellos tienen dos niños, unos $n$ tienen dos niñas, y cerca de $2n$ tienen una niña y un niño. Como se ignoran las familias con dos niños, la probabilidad deseada viene dada por $n/(3n) = 1/3$ .

EDIT: La solución anterior corresponde a la siguiente situación. Usted visita un gran número de familias. En cada familia, comprueba si hay dos niños. Si no, ignora esta familia. En caso afirmativo, comprueba si uno de los niños es una niña. Si la respuesta es negativa, ignora a esta familia. En caso afirmativo, comprueba si los dos niños son niñas.

EDIT: Entre todos los ejemplos del OP, sólo uno es relevante aquí. A saber: "Visito a esta familia. Sé que tienen dos hijos. Uno de ellos, una niña, entra en la habitación. La probabilidad de que el segundo niño sea también una niña es 1/2, ¿no? Pues bien, en esta situación la probabilidad es efectivamente $1/2$ asumiendo la siguiente interpretación. Usted visita un gran número de familias. En cada familia, comprueba si hay dos niños. Si la respuesta es negativa, ignora a esa familia. Si la respuesta es afirmativa, esperas a que entre uno de los niños en la habitación. Si es un niño, se ignora a esta familia; en caso contrario, se comprueba si los dos niños son niñas. Se entiende fácilmente que esto lleva a una probabilidad de $1/2$ .