"Definido como" frente a "Equivalente a"

Question

Esta es una pregunta perezosa, pero muy a menudo los libros de texto utilizan el " $\equiv$ " (equivalente a) y el signo " $:=$ " (definido como) signo en los mismos lugares de un libro a otro. Supongo que la equivalencia con un concepto previamente definido es también una forma de definición. ¿Hay alguna regla o directriz sobre cuándo usar qué?

En relación con esta consulta, supongamos que quiero indicar que una determinada variable tiene una determinada propiedad sin definir un conjunto y utilizando la inclusión " $\in$ "por lo que, por ejemplo, si $A$ es un círculo, podría escribir $A\equiv\bigcirc$ " donde $\bigcirc$ es de alguna manera la abreviatura de la propiedad de redondez. Sé que suena enrevesado, pero estoy encantado de elaborar mi contexto si alguien está interesado. En particular, este tipo de abreviatura funciona bien cuando una definición genérica de conjunto no es fácil de escribir.

Gracias.

Answer 1

La atmósfera no es una simple superficie esférica de dos dimensiones. También hay que tener en cuenta la convección hacia arriba o hacia abajo de la atmósfera.

Consideremos la siguiente situación: Un cilindro circular con un flujo de calor en el sistema exactamente en el centro de la parte inferior del cilindro. Así que hay convección hacia arriba cerca del eje central del cilindro y hay convección hacia abajo cerca del exterior del cilindro. La línea de flujo fluye suavemente hacia arriba en el centro y hacia abajo desde el exterior. Así, cuando se ve desde arriba, es como una línea radial que se mueve hacia afuera.

Como la mancha roja se parece más a una espiral que a un vórtice, ahora imaginemos que, en lugar de moverse directamente hacia arriba, la línea de corriente gira alrededor del eje central durante un poco menos de una vuelta, por lo que necesita girar en la superficie superior para completar la vuelta restante para que la línea de corriente se cierre. Ahora, cuando lo veas desde arriba, deberías poder ver la espiral como el escupitajo rojo de la parte superior.

Entonces, ¿por qué no se crea un vórtice? Creo que el punto clave es que la línea de corriente se mueve perfectamente hacia abajo a lo largo de su límite de la circunferencia exterior. Esta característica también es válida para otras formas cilíndricas (o una parte de la cónica). Por lo tanto, es posible combinarlas de alguna manera para formar una cáscara esférica como la atmósfera. A lo largo de este límite imaginario, todas las líneas de corriente apuntan hacia abajo y ninguna línea de corriente apunta paralela a la superficie, por lo que no se crea ningún vórtice nuevo.

No entiendo bien lo de vórtice/antivórtice, pero creo que el vórtice se crea debido a la línea de corriente opuesta cerca de un punto. También me parece extraño porque nunca he visto un par de tornados en el hemisferio norte y sur de la Tierra.

Answer 2

También he visto esto muchas veces, y he llegado a la conclusión de que " $\equiv$ " fue simplemente mal utilizado como símbolo de definición.

La notación $A\equiv B$ afirma que -en cierto sentido- $A$ es "tan poderoso (o grande) como" $B$ mientras que usted parece querer decir algo como $A\in B$ como " $A$ pertenece al (conjunto de) objetos redondos". Tal vez se podría tener una notación como $A\in\{\mathrm{round}\}\cap\{\mathrm{green}\}$ o $A\in\bigcirc\cap\color{green}{\spadesuit}$ .

Answer 3

Sólo puedo responder a su pregunta desde el punto de vista formal. En Coq Utilizo "Definición" para introducir un nombre para una nueva noción y "<->" ( bicondicional lógico , equivalencia lógica) para decir que algunas nociones ya definidas son equivalentes. Cuando se utiliza lo que es bastante intuitivo allí.

La definición implica equivalencia, por ejemplo:

Definition incompatible (a b:Prop) := ~(a/\b).
Theorem incompatible0 : forall a b:Prop, incompatible a b <-> ~(a/\b).
Proof. firstorder. Qed.

En cuanto a tu ejemplo sobre la redondez, no veo cómo usar el bicondicional lógico aquí. Preferiría denotar la redondez con un predicado 1-ario. Por ejemplo, "x es un círculo" se escribe formalmente $\operatorname{circle}(x)$ .