Secuencia de Cauchy en la métrica euclidiana e infinita

Question

Demuestre que una secuencia de puntos en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ es Cauchy en la métrica euclidiana habitual si y sólo si es Cauchy en la $1$ (o infinito) métrica.

Answer 1

Pista: Demuestre que $\|x\|_1$ y $\|x\|_\infty$ son pequeños si $\|x\|_2$ es pequeño.

Answer 2

Se puede utilizar el hecho de que las normas son equivalentes en espacios de dimensión finita, es decir

$$ C_1\,||x||_1 \leq ||x||_{\infty} \leq C_2 \,||x||_1 . $$

Aquí hay una referencia .