Encontrando $\lim_{x\to0+}\frac{\ln(x^2)} x$ y una pregunta sobre los límites y LHR

Question

Encuentre $\displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{\ln(x^2)} x$

Tenemos aquí un límite de la forma: $"-\infty\cdot \infty"$ o $"\frac {-\infty}0"$ .

LHR no ayudará con este límite ya que es divergente.

Intenté apretarlo pero no funcionó del todo...

¿Alguna pista, por favor?

Otra cuestión sobre el uso de LHR, si obtenemos una expresión de la forma $\frac {-\infty}{\infty}$ ¿podemos utilizar LHR? Es esencialmente lo mismo que $\frac 0 0$ pero desde distintos lados.

Answer 1

utilizar la sustitución $x\to x^{-1}$ , entonces obtenemos $\lim _{x\to \infty}\frac {\ln x^{-2}}{x^{-1}}=\lim_{x\to \infty}-2x\ln(x)\to-\infty $

Answer 2

Tienes razón en que la forma es $-\infty\cdot\infty$ , pero eso sólo da lugar a $-\infty$ Así que ese es tu límite. No necesitas L'Hopital ni nada más para ir más allá.

Su segunda pregunta: Sí. Esa es una adición estándar en los textos de cálculo sobre la regla de L'Hopital.

Answer 3

Utilizamos LHR para formas indeterminadas como $\frac{\infty}{\infty}$ . Sin embargo, $-\infty\cdot\infty=-\infty$ . Si $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ y $\lim_{x\to 0^+}g(x)=\infty$ entonces $f(x)g(x)<0$ como $x\to 0+$ y $|f(x)g(x)|\to\infty$ .

Answer 4

el límite no existe porque $\ln(0+) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0+} \dfrac{1}{x} = \infty$ y $-\infty * \infty = -\infty.$