Igualdad de $2^x + 2^{4-x} \geq 8$

Question

Quiero encontrar el valor(es) de $x$ para los que la igualdad se mantiene en $$2^x + 2^{4-x} \geq 8$$

Lo he encontrado resolviendo $2^x + 2^{4-x} = 8$ :

$$2^x + 2^{4-x} = 8 \Rightarrow 2^{2x} - 8 \cdot 2^x + 16 = 0 \Rightarrow (2^x - 4)^2 = 0$$

tan claramente $x = 2$ .

Sin embargo, Las notas que he leído van directamente a decir que la igualdad se produce cuando $2^x = 2^{4-x}$ es decir, cuando $x = 4 - x$ y de nuevo $x=2$ .

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Probablemente me estoy perdiendo algo muy simple aquí, pero ¿por qué la igualdad se mantiene simplemente cuando $$2^x = 2^{4-x}?$$

Edición: para aclarar, quiero saber por qué es una condición "obvia" para la igualdad sin escribir el signo de igualdad y resolver la cuadrática.

Answer 1

Se podría argumentar por la desigualdad media aritmética-geométrica: $$\frac{2^x + 2^{4 - x}}{2} \ge \sqrt{2^x \cdot 2^{4 - x}} = \sqrt{2^4} = 4,$$ con igualdad si y sólo si $2^x = 2^{4 - x}$ .

Answer 2

Si se divide por $4$ se obtiene una ecuación del tipo $y + \frac{1}{y} = 2$ para $y > 0$ que se cumple si y sólo si $y = \frac{1}{y}$ . Sin embargo, esto es un poco exagerado.

Answer 3

$(2^{x/2}-2^{(2-x/2)})^2 \ge 0;$

$2^x +2^{4-x} -2(2^{x/2}2^{(2-x/2)}) \ge 0;$

$2^x +2^{4-x} \ge 8;$

Igualdad para $2^{x/2}= 2^{(2-x/2)}$ (¿Por qué?);

$2^x=2^2$ o $x=2$ .