¿Cómo se construye el punto de intersección de una recta con una parábola cuyo foco y directriz se conocen?

Question

Encontré este problema en "Cómo resolverlo" de Polya. Dice lo siguiente

Utilizando sólo una regla y un compás, construye el punto o puntos de intersección de una recta dada y una parábola cuyo foco y directriz son conocidos.

Creo que he conseguido hacerlo para el caso especial cuando la directriz y la recta dada son paralelas, pero estoy atascado en el caso general cuando no lo son. Podría añadir mi método para el caso especial en mi pregunta pero creo que es enrevesado y poco elegante. Me preguntaba si alguien podría ayudarme a resolverlo. Podría buscarlo en el libro, pero Polya sólo utiliza ese problema para ilustrar el replanteamiento de un problema y no proporciona una solución. Me gustaría que alguien me diera alguna pista.

Answer 1

Utilizando la definición de parábola, cada uno de los puntos de intersección $P_1,P_2$ se encuentra en L y es el centro de un círculo (diferente) que pasa por el punto F y es tangente a D (por ejemplo $|P_1F| = |P_1T|$ ). Pero esto sólo da dos datos para cada círculo; se necesitan tres.

Vea el diagrama.

Pero, el tercer punto que falta se puede obtener reflejando $F$ sobre la línea $L$ para conseguir $F'$ ( $P_1$ y $P_2$ se encuentran a lo largo de L y por lo tanto sus círculos deben ser simétricos respecto a L). Véase el diagrama.

A continuación, extienda $FF'$ hasta que se cruce con $D$ en $Q_1$ y se cruza con $L$ en el punto $C$ . Ahora el poder de $Q_1$ respecto al círculo centrado en $P_1$ puede expresarse como

$|Q_1T_1|^2 = |Q_1F||Q_1F'|$

Dibuja semicírculos con diámetro $FF'$ y el diámetro $Q_1C$ . Estos se cruzan en el punto $R_1$ tal que

• $\angle QR_1C = 90^\circ$ y
• $|Q_1R_1|^2 = |Q_1F||Q_1F'|$ .

Por lo tanto, $|Q_1R_1| = |Q_1T|$

Así que un arco circular centrado en $Q_1$ a través del punto $R_1$ se cruzará con $D$ en el punto de tangencia deseado $T_1$ . Sólo hay que dibujar una línea perpendicular a través de $T_1$ para encontrar $P_1$ .

Para encontrar $P_2$ extender los semicírculos para encontrar otro punto de intersección $R_2$ (no se muestra) que estará en el mismo arco que $R_1$ y $T$ .

Así que sólo hay que extender el arco centrado en $Q_1$ hasta que vuelva a intersecar el diámetro en $T_2$ . Una bisectriz perpendicular da como resultado el punto $P_2$ .

Answer 2

La siguiente imagen muestra una forma de hacerlo. Seguro que no es la más elegante pero es fácil de entender:

La parábola y la recta están dadas en rojo; el foco y la directriz están en naranja. (Es evidente que la parábola roja no es en realidad pero está ahí como referencia). Ten en cuenta que hay algunas líneas y puntos extraños en la imagen, pero las siguientes instrucciones deberían guiarte.

Comenzamos dibujando cualquier dos círculos no superpuestos tangentes a la directriz (verde). Construir la otra tangente externa (línea punteada verde). El punto que buscamos es el centro de un círculo tangente a estas dos líneas que pasa por el foco.

Dibuja una línea desde el foco hasta el punto donde se cruzan las tangentes (azul). Construye una recta desde la intersección de esta recta con una de las circunferencias (punto W) hasta el punto en el que una tangente la toca (punto U; la recta WU está punteada en azul). Construye la recta paralela que pasa por F (también punteada en azul). A continuación, construye la mediatriz de FZ, donde Z es la intersección de esta recta con la tangente que no es la directriz (color morado sólido). La intersección (G) de este punto con la recta dada está en la parábola, y por tanto es uno de los puntos requeridos.

Comprendo que esta es una pregunta antigua, pero tal vez esto sea útil o interesante para alguien...

Answer 3

Dos aclaraciones de helveticat El diagrama de la empresa:

• El punto O es la intersección (si la hay) de la recta dada y la directriz dada. También acaba siendo la intersección de las dos rectas tangentes (de nuevo, si las hay).

• El " cualquier dos circunferencias no superpuestas tangentes a la directriz" deben tener también sus centros en la recta dada.