¿Existen objetos matemáticos que no tengan ejemplos concretos?

Question

Tengo curiosidad por saber si existe un objeto matemático en cualquier campo que se pueda demostrar que existe pero que no tenga ejemplos concretos. Es decir, algo completamente no constructivo. Los ejemplos más cercanos que conozco son ultrafiltros que sólo tienen un ejemplo que se puede escribir. El usuario de MathOverflow Harrison Brown me mencionó que hay ejemplos en la teoría de Ramsey de objetos cuya existencia está probada pero que no tienen una construcción determinista conocida (pero podría haberla), lo que se acerca a lo que estoy buscando. También mencionó que el grupo de Galois absoluto de los racionales sólo tiene dos elementos que se pueden escribir: el elemento de identidad y la conjugación compleja.

Me preocupa que esta sea una pregunta terriblemente tonta, ya que típicamente hay un ejemplo trivial de un objeto, y una definición que específicamente no incluyera el caso trivial sería "engañar" en lo que a mí respecta. Mi motivación para esta pregunta es puramente por curiosidad. Además, esta es mi primera pregunta en MO, así que probablemente necesite ayuda con las etiquetas y demás (no estoy muy seguro de a qué pertenece esto). Creo que esto debería ser un wiki de la comunidad, pero no tengo la reputación para hacerlo así por lo que veo.

Answer 1

Si no recuerdo mal, hay un teorema que afirma que todos los números primos, excepto posiblemente cero, uno o dos, generan infinitos grupos multiplicativos (cíclicos) $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}^{\times}$ donde $q$ varía entre los primos. Sin embargo, no se conoce ni siquiera uno de esos primos, ni siquiera $2$ o $3$ . Así, entre $2,3$ y $5$ Al menos uno de ellos tiene la propiedad, pero nadie sabe cuál es.

Answer 2

En el juego, que es como el ajedrez, excepto que cada jugador hace dos movimientos seguidos, el primer jugador tiene una estrategia que al menos empata, pero no se conoce explícitamente dicha estrategia.

Answer 3

Creo que hay que aclarar el significado del término "existir". Todos los ejemplos que describes, excepto el de la teoría de Ramsey, dependen de axiomas independientes de ZF (por ejemplo, el lema del ultrafiltro). Por otra parte, el método probabilístico puede probar, en ZF En el caso de los números de Ramsey, existe una gran cantidad de objetos (por ejemplo, empaquetamientos de esferas eficientes, familias de grafos que realizan límites en los números de Ramsey) para los que no tenemos construcciones deterministas eficientes. Supongo que esto es a lo que se refiere Harrison (el uso del método probabilístico en la teoría de Ramsey).

Answer 4

-El teorema Robertson-Thomas-Seymour Graph Minor dice que existe un algoritmo de tiempo polinómico para determinar si un gráfico tiene una propiedad heredable P.

http://www.google.com/search?client=ubuntu&channel=fs&q=Graph+Minor+Theorem&ie=utf-8&oe=utf-8#q=Graph+Minor+Theorem+Algorithms&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&channel=fs&fp=f26a11cf684416b&hl=es

-La descomposición de Banach-Tarski de una bola en dos bolas del mismo volumen es otro ejemplo.

-La proposición verdadera pero no demostrable del teorema de incompletitud de Godel.

-La EDP lineal que no admite solución (como en el último capítulo del libro de John Fritz).

• Prácticamente cualquier prueba que utilice el axioma de elección para construir algo tiene este problema. Publicaré más si se me ocurren otros ejemplos. Hay muchos.

Answer 5

Muchas pruebas de existencia utilizan argumentos como la diagonal de Cantor, la categoría Baire, etc. A diferencia de los argumentos del lema de Zorn, pueden "en principio" dar ejemplos. Por ejemplo, podríamos construir un número trascendental enumerando los números algebraicos y eligiendo un número que difiera del enésimo número algebraico en la enésima cifra decimal. Podemos calcular este número con tantas cifras como queramos. Por supuesto, este no es un número trascendental que nadie quiera conocer.