Encuentre $$\lim_{x\to\ -0.5^-}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$$ Lo siento, no tengo ni idea de por dónde empezar. Sé cómo encontrar límites regulares algebraicamente, pero no de un lado.
Gracias
Hay una errata en "existe" (y debería ser "existe").
Respuestas
¿Demasiados anuncios?La función $$f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$$ es continua en el punto en cuestión, así que tienes que
$$\lim_{x\rightarrow-0.5^-}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}=\lim_{x\rightarrow -0.5^+}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}=\sqrt{\frac{-.5+2}{-.5+1}}=\sqrt{\frac{1.5}{.5}}\\ =\sqrt{3} $$ Ya que para una función continua en un punto $a$ tienes $$ \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) $$
John Wayland Bales
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Existen funciones que tienen un límite "izquierdo" diferente del límite "derecho". O quizás el límite existe en un lado en un número determinado pero no existe en el otro. Consideremos la función
\begin {Ecuación} f(x)= \dfrac {2x-1}{ \vert 2x-1 \vert } \end {Ecuación}
\begin {Ecuación} \lim_ {x \to0.5 ^-}f(x)=-1 \end {Ecuación}
Sin embargo,
\begin {Ecuación} \lim_ {x \to0.5 ^+}f(x)=+1 \end {Ecuación}
Así que
\begin {Ecuación} \lim_ {x \to0.5 }f(x) \text No existe. \end {Ecuación}
Observe que $f(x)$ es indefinido en $\tfrac{1}{2}$ por lo que no se puede sustituir en la función para encontrar el límite.
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- $$\lim_{x \to -0.5} f(x) = \lim_{x \to -0.5^{-1}} f(x)$$
si $f$ es continua en $x=-0.5$
Es $$\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$$ continua en $x=-0.5$ ?
Lo que tenemos que comprobar es si $$\lim_{x \to -0.5} \sqrt{x} = \lim_{x \to -0.5^{-1}} \sqrt{x}$$
y si $$\lim_{x \to 0-.5} \frac{x+2}{x+1} = \lim_{x \to -0.5^{-1}} \frac{x+2}{x+1}$$
Resulta que ambas cosas son ciertas porque
-
$\sqrt{x}$ es continua en todos los puntos $x > 0$ y $\frac{x+2}{x+1}|_{x = -0.5} > 0$ .
-
$\frac{x+2}{x+1}$ es continua en todos los puntos $x \ne -1$
Así que esto es lo que tenemos:
$$\sqrt{\lim_{x \to 0.5}\frac{x+2}{x+1}} = \sqrt{\lim_{x \to 0.5^{-1}}\frac{x+2}{x+1}} \ \text{by continuity of} \ \frac{x+2}{x+1}$$
$$\sqrt{\lim_{x \to 0.5}\frac{x+2}{x+1}} = \lim_{x \to 0.5}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \ \text{by continuity of} \ \sqrt{x}$$
$$\lim_{x \to 0.5^{-1}}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = \lim_{x \to 0.5}\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \ \text{by continuity of} \ \sqrt{x}$$
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En este caso puedes sustituirlo por $-0.5$ para $x$ .
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De acuerdo, pero ¿qué pasa cuando $x$ se acerca a una función y hay más de un límite? ¿Cómo encontrar cuál es el límite verdadero en ese caso?
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@AniketBinwade en la práctica, esto sólo ocurrirá cuando tu función tenga una definición a trozos. El límite lo encuentras sustituyendo en la definición asociada a ese lado.
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@AniketBinwade nota que cualquier función algebraica es continua dondequiera que esté definida (con una posible excepción de la $0^0$ de la técnica). Por lo tanto, si usted puede sustituto y obtener una respuesta, esa respuesta será generalmente el límite global, o el límite de un lado si estamos en el borde del dominio.
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Sustituir $x=-5-1/n$ Y cambiar el límite a $n \to \infty$ .
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@Omnomnomnom sucede en funciones con una sola definición, es decir $\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}\neq \lim\limits_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}$
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@Tony Yo diría que para esa función, no puedes "sustituir y obtener y responder" ya que la división por cero es indefinida.
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"Algebraicamente" no está muy claro, pero podría referirse a cálculos como $$\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}-\sqrt3=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+3}}{\sqrt{x+1}\cdot{}{}{}\sqrt3}$$ que es $$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+3}}{\sqrt{x+1}\cdot\sqrt3}\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+3}}$$ que es $$-\frac{2x+1}{\sqrt{x+1}\cdot\sqrt3\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+3})},$$ y cuando $x\to-\frac12$ el numerador es cero y el denominador es $$\sqrt{-\tfrac12+1}\cdot\sqrt3\cdot(\sqrt{-\tfrac12+2}+\sqrt{-3\tfrac12+3})=1{}{}{}\ne0.$$