Vectores propios y producto de Kronecker

Question

Definamos $$v:=v_A\otimes v_B\quad (*)$$ donde $v_A$ es un vector fijo en $\mathbb{R}^{d_A}$ , $v_B$ es cualquier vector en $\mathbb{R}^{d_B}$ y $\otimes$ denota el producto de Kronecker. Para descartar los casos triviales supongamos $d_A,d_B>1$ .

Mi pregunta : Supongamos que $v$ definido como en $(*)$ es un vector propio de la matriz simétrica $C\in\mathbb{R}^{d\times d}$ con $d:=d_Ad_B$ , para todo $v_B\in\mathbb{R}^{d_B}$ . ¿Es cierto que $C$ tiene la forma $$C=A\otimes I_{d_B},$$ donde $A\in\mathbb{R}^{d_A\times d_A}$ y $I_{d_B}$ denota la matriz de identidad de dimensión $d_B$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esto es en general falso. Considere $v_A = v_B = (1, 1)^t$ y $C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$ . Entonces $v_A \otimes v_B = (1, 1, 1, 1)^t$ y $C (v_A \otimes v_B) = 10 (v_A \otimes v_B)$ pero claramente $C$ no es de la forma $A \otimes I_2$ .

En general, un solo vector propio no dice mucho sobre la estructura de una matriz. Supongo que una versión de esta afirmación podría ser cierta si existe una base propia completa de la forma $u_i \otimes v_j$ con vectores adecuados $u_i, v_j$ .

Answer 2

Dejemos que $$C=\pmatrix{I&0\\0&D},$$ donde la identidad $I$ y una simetría arbitraria $D$ tienen la misma dimensión mayor que uno. Para $v_A=[1,0]^T$ y cualquier $v_B$ (de la misma dimensión que $I$ y $D$ ), $v=v_A\otimes v_B$ es un vector propio de $C$ . La matriz $C$ no necesita tener una forma de producto de Kronecker ya que $D$ es arbitrariamente simétrica.