Sugerencia para encontrar el límite sin aplicar la regla de L'Hospital (análisis matemático)

Question

Llevo tiempo intentando resolver este límite sin aplicar la regla de L'Hospital, pero sin éxito, he probado un par de enfoques pero todos acaban en un callejón sin salida.

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(e+x)-e^x}{\cos^2x-e^x}$$

se agradecería cualquier tipo de pista.

Answer 1

$$\dfrac{\ln(x+e)-e^x}{\cos^2x-e^x}$$

$$=\dfrac{1+\ln(1+x/e)-e^x}{(\cos x+e^{x/2})(\cos x-e^{x/2})}$$

$$=\dfrac{-\dfrac1e\cdot\dfrac{\ln(1+x/e)}{x/e}-\dfrac{e^x-1}x}{(\cos x+e^{x/2})\left(-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x/2}-1}{x/2}-\dfrac{1-\cos x}x\right)}$$

Ahora $\dfrac{1-\cos x}x=\dfrac x{1+\cos x}\cdot\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2$

Answer 2

Supongamos que $\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=f(c)=g(c)=0$ . Supongamos además que $f'(c)$ y $g'(c)$ ambos existen y (lo más importante aquí) $g'(c)\not=0$ . Entonces hace no requieren la regla de L'Hopital para concluir

$$\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}={f'(c)\over g'(c)}$$

Esto se debe a que podemos escribir

$$\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to c}{\displaystyle{f(x)-f(c)\over x-c}\over\displaystyle{g(x)-g(c)\over x-c}}={\lim_{x\to c}\displaystyle{f(x)-f(c)\over x-c}\over\lim_{x\to c}\displaystyle{g(x)-g(c)\over x-c}}={f'(c)\over g'(c)}$$

En este caso, la primera igualdad utiliza la suposición de que $f(c)=g(c)=0$ la segunda igualdad utiliza la ley general "distributiva" de los límites, es decir $\lim(F/G)=(\lim F)/(\lim G)$ proporcionó $\lim F$ y $\lim G$ ambos existen y (lo más importante) $\lim G\not=0$ y la tercera igualdad utiliza la definición de la derivada.

Para ese problema en cuestión,

$$g(x)=\cos^2x-e^x\implies g'(x)=-2\cos x\sin x-e^x\implies g'(0)=-1\not=0$$

y así podemos proceder con

$$f(x)=\ln(e+x)-e^x\implies f'(x)={1\over e+x}-e^x\implies f'(0)={1\over e}-1$$

para que

$$\lim_{x\to0}{\ln(e+x)-e^x\over\cos^2x-e^x}={{1\over e}-1\over-1}=1-{1\over e}$$

En resumen, esto puede mira como L'Hopital, pero no lo es. A grandes rasgos, L'Hopital no es necesario a menos que $f'(c)$ y $g'(c)$ ambos existen pero son ambos igual a $0$ .