encontrar el coeficiente de $x^{50}$

Question

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)}$ entonces encuentre el coeficiente del término $x^{50}$ en $(f(x))^3$ .creo que podemos establecer $$(f(x))^3=\frac{a}{(1+x)^3}+\frac{b}{(1+x^2)^3}+\frac{c}{(1+x^4)^3}$$ y encontrar a,b y c luego usar la seri de Taylor .

Answer 1

Tenemos $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)}=\frac{1-x}{1-x^8}=(1-x)(1-x^8)^{-1}$ si $|x^8|<1$ .

Ahora bien, tenga en cuenta que cuando $|x|<1$ entonces \begin {align*} (1-x)^{-1}=& \sum\limits_ {n \geq 0}x^n \\ -(1-x)^{-2}=& \sum\limits_ {n \geq 1}nx^{n-1} \\ +2(1-x)^{-3}=& \sum\limits_ {n \geq 2}n(n-1)x^{n-2}= \sum\limits_ {n \geq 0}(n+2)(n+1)x^{n} \\ (1-x)^{-3}=& \sum\limits_ {n \geq 0} \frac {(n+2)(n+1)}{2}x^{n} \end {align*} lo que significa $f(x)^3=(1-x)^3(1-x^8)^{-3}=(1-3x+3x^2-x^3)\sum\limits_{n\geq 0}\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^{8n}$

En el lado derecho, tenemos los términos de las formas $x^{8n}, x^{8n+1}, x^{8n+2}, x^{8n+3}$ . Dado que ninguno de los $8n, 8n+1, 8n+3$ pero $8n+2$ proporcionar 50 (para $n=6$ ) por lo que el coeficiente requerido de $x^{50}$ es $3\frac{8.7}{2}=84$

Answer 2

No funcionará así: $f(x)^3 = \dfrac{1}{(1+x)^3 (1+x^2)^3 (1+x^4)^3}$ y entonces la expansión de la fracción parcial incluirá términos en $1/(1+x)$ , $1/(1+x)^2$ , ...