Me dan el mapa $f: (x,y) \mapsto (x+3,4-y): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ ¿Cómo puedo demostrar que esta función es onto (suryectiva)?
Hasta ahora he dicho que dejemos $x=z$ y $y=k$ ,
por lo tanto $f(x,y)=(z+3,4-k)$ , lo que significa que $f(x,y)$ es onto (suryente).
No estoy seguro de que esta sea la forma de demostrar que una función es onto. ¿O significa que la función no es onto? Gracias.
Respuestas
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Dejemos que $(z_{1},z_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ Entonces $z_{1} = x+3$ y $z_{2} = 4-y$ para algunos $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ si $x = z_{1}-3$ y $y = 4-z_{2}$ esto demuestra que para cada punto $(z_{1},z_{2})$ de $\mathbb{R}^{2}$ hay algo único $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ tal que $(z_{1},z_{2}) = f(x,y)$ Así que $f$ es, de hecho, biyectiva y, por tanto, suryectiva.
Pablo
Puntos
39
No entiendo la idea de lo que estás haciendo.
Para el caso de la sobreyección, hay que elegir un $(z, w) \in \Bbb R^2$ (la gama $\Bbb R^2$ ) y mostrar que hay algo de $(x, y) \in \Bbb R^2$ (el dominio $\Bbb R^2$ ) con $f(x, y)$ igual a su par elegido $(z, w)$ .
Si esto puede suceder, significa $$\underbrace{f(x, y) = (x + 3, 4 - y)}_{\text{definition of $ f $}} \underbrace{= (z , w)}_{\text{what we want}}.$$
¿Podemos encontrar $x$ y $y$ para que $x + 3 = z$ y $4 - y = w$ ?
