Puntos aislados en el espacio métrico

Question

Admitir el siguiente resultado de la teoría de conjuntos : Si X es un conjunto infinito y $\mathbb{Q}$ es el conjunto de racionales, entonces existe una biyección $f: X \longrightarrow X \times \mathbb{Q}$ . Concluir de esto que se puede introducir en todo conjunto infinito una métrica sin puntos aislados.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Definir una métrica en $X'=X\times\Bbb Q$ por $$d'((x,r),\,(y,s)):=\left\{\matrix{|r-s|&\text{if }x=y\text{ and }|r-s|<1\\ 1&\text{otherwise}}\right.$$ Verificar que se trata de una métrica en la que ningún punto $(x,r)$ está aislado.

Por último, retrae la métrica por la biyección $f:X\to X\times\Bbb Q$ es decir, definir $d(x,y):=d'(f(x),\,f(y))$ .

Answer 2

Si $(X,d), (Y,e)$ son espacios métricos, entonces la métrica $f(\,(x,y),\,(x',y')\,)=d(x,x')+e(y,y')$ genera la topología del espacio-producto $X\times Y$ .

Si $Y$ no tiene puntos aislados, entonces tampoco $X\times Y.$ Esto es válido para cualquier espacio $X,Y.$

Así que dejemos $d$ sea "la" métrica discreta, es decir $d(x,x')=1$ si $x\ne x'.$ Y que $Y=\Bbb Q$ con $e(y,y')=|y-y'|.$

La métrica $f$ en $X\times \Bbb Q$ es equivalente a la métrica $d'$ de la respuesta de Berci. Eso es, $f$ y $d'$ generar la misma topología.