Serie de $\sin(nx)$ términos que suman $0$ .

Question

Trabajar en $\mathbb{R}$ , qué secuencias $a_n$ satisfacer $\sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin(nx)=0$ para todos $x$ ¿puntualmente?

Nunca he pensado en esto y no estoy seguro de si no se me escapa algo trivial, habría esperado que $a_n = 0$ para todos $n$ es la única solución, pero no estoy seguro de haber visto que esto se diga en ningún sitio.

Answer 1

Puede depender del significado de la suma (y, como consecuencia, de la velocidad de la decadencia de $a$ ).

Para resolver todos los problemas de convergencia, suponemos que la serie converge normalmente en $\mathbb{R}$ , es decir $a \in \ell^1$ .

Dejemos entonces que $f(x)=\sum_n{a_n\sin(nx)}$ . $f$ es continua.

Le sugiero que calcule $\int_0^{2\pi}{f(x)\sin(nx)\,dx}$ en función de $a_n$ (utilizando la convergencia normal de la serie).

Answer 2

Teorema de unicidad de Riemann dice que si una serie trigonométrica converge puntualmente a $0$ entonces sus coeficientes son todos iguales a $0$ . Más tarde, Cantor lo generalizó, lo que le llevó a desarrollar la teoría de conjuntos.