Evaluar $\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(2n+1)^4}$ utilizando la expansión de Mittag-Leffler

Question

Estoy intentando evaluar la siguiente serie utilizando el teorema de expansión de Mittag-Leffler. ¿Qué función sería útil? $$\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(2n+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}$$

Consideré diferenciar la siguiente relación dos veces pero no sirvió de nada. Y logré demostrar $0 = 0$ :D $$\text{tanh}(z) = 2z \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^2 + ((2n+1)\pi/2)^2}$$ La expansión anterior da como resultado $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ . Necesito algo de $4-th$ orden. La expansión de la función me dará algo como $\displaystyle F(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4 + f(z)}$

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\begin {align*} \frac 1z \frac {d}{dz} \left ( \frac { \text {tanh}(z)}{z} \right ) &= \frac {z \; \text {sech}(z)^2 - \text {tanh}(z)}{z^3} \\ &= \frac {z (1 - z^2 + O(z^3)) - (z - z^3/3 + O(z^2))}{z^3} \\ &= \frac {- \frac 2 3 z^3 + O(z^5)}{z^3 } \\ &= -2/3 \\ &= \frac 1z \frac {d}{dz} \left ( 2 \sum_ {n=0}^ \infty \frac {1}{z^2 + ((2n+1) \pi /2)^2} \right ) \\ &= \frac 1z 2 \sum_ {n=0}^ \infty - \frac {2z}{(z^2 + ((2n+1) \pi /2)^2)^2} \\ &= - 4 \sum_ {n=0}^ \infty \frac {1}{(z^2 + ((2n+1) \pi /2)^2)^2} \end {align*}

Answer 1

Debes evaluar: $$\lim_{z \to 0} -\frac{(\pi/2)^4}{2 z} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \frac{\tanh(z)}{2z}$$