Prueba de intersección y unión del set A con conjunto vacío

Question

Necesito probar lo siguiente:

Demuestra que $A\cup !\, \varnothing !\,=A$ y $A\cap !\, \varnothing !\,=\varnothing !\,$

Tengo entendido que para probar la igualdad, debo probar que ambos son subconjuntos el uno del otro. Así que para probar $A\cup !\, \varnothing !\,=A$, tenemos que demostrar que $A\cup !\, \varnothing !\,\subseteq !\,A$ y $A\subseteq !\,A\cup !\, \varnothing !\,$.

Sin embargo, encontré una prueba de ejemplo para $A \cup !\, A$ en mi libro y lo adapté y obtuve esto:

$A\cup !\, \varnothing !\,=$ {$x:x\in !\, A \ \text{or} \ x\in !\, \varnothing !\,$} = {$x:x\in !\, A$} = A

$A\cap !\, \varnothing !\,=$ {$x:x\in !\, A \ \text{and} \ x\in !\, \varnothing !\,$} = {$x:x\in !\, \varnothing !\,$} = $\varnothing !\,$

¿Mis pruebas se ven bien?

Answer 1

Creo que sus pruebas están bien, pero podrían usar un poco más de detalle al pasar de la igualdad a la igualdad. Me gusta mantenerme alejado de la notación de la construcción de escaldo personalmente. También podría mostrar $A \cap \emptyset = \emptyset$ mostrando por cada $a \in A$, $a \notin \emptyset$. Esa prueba es bastante sencilla. Para mostrar $A\cup \emptyset = A$ me gusta el argumento de doble contención. Como regalo obtienes $A \subseteq A\cup \emptyset$, así que todo lo que tienes que hacer es mostrar $A \cup \emptyset \subseteq A$.

Answer 2

tenemos que probar que A U phi=A, se puede escribir como, Un U PHI={X:X e A O X e phi} para hacerlo de una manera más simple que voy a utilizar un ejemplo, escribir en forma de tostador A={1,2,3} PHI={4,2,5} CUANDO ESCRIBES EL SINDICATO SALE A SER {1,2,3,4,5} POR LO TANTO AUPHI=A