Notación de probabilidad dos números apilados entre corchetes

Question

Tengo una pregunta muy simple. ¿Podría alguien profundizar en la notación de dos números apilados entre corchetes? como:

$$ \begin{pmatrix} 5 \ 1 \ \end{pmatrix} $$

Answer 1

Esta es la notación habitual para un coeficiente binomial:$\binom{123}{45}$ es el número de subconjuntos de elementos $45$diferentes de un conjunto con elementos $123$ en total. Se puede calcular como $$ \binom{123}{45} = \frac{123!}{45!(123-45)!} $$

En algunos textos elementales de probabilidad/combinatorics, el mismo concepto también se puede notar algo como ${}^{123}C{45}$ o ${}{123}C_{45}$ o $C(123,45)$.

Answer 2

Es la función 'elegir'. Digamos que tienes 8 personas y quieres elegir (elegir) 3 de ellas para formar un equipo. A continuación, el número de equipos diferentes que puede crear es $8\choose3$.

Answer 3

La definición más valiosa es la siguiente: $$\binom{z}{k} = \begin{cases}\frac{z(z - 1)\cdots(z - k + 1)}{k!} = \frac{z^{\frac{k}{}}}{k!} & \text{for integer $k \ge 0$},\ 0 &\text{para enteros $k

donde $z$ es un número complejo. Vea el libro de texto "Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science" de Ronald Graham, Donald Knuth y Oren Patashnik.

Es fácil ver que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n - k)!k!}$ para $0 \le k \le n$ ese es el número de opciones de objetos $k$ de objetos $n$. Pero más interesante es lo siguiente: $$(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k = 0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^k$$ para cualquier $\alpha$ real.