Demostrar que la desigualdad $AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN$

Question

Sea $ABCD$ sea el tetraedro regular, y $M, N$ puntos en el espacio. Demuéstralo: $$AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN$$

Tal vez usar La desigualdad de Ptolomeo ¿Resolverlo?

Answer 1

Sí, esto es sólo la desigualdad de Ptolomeo.

Supongamos que el intercambio de isometría (es decir, rotación/reflexión) $(A,B)$ y $(C,D)$ envía $M$ a $L$ . Ahora basta con demostrar que $$BL\cdot AN+AL\cdot BN+DL\cdot CN\geq CL\cdot DN.$$ La desigualdad de Ptolomeo da lo siguiente: $$\begin{align*}BL\cdot AN+AL\cdot BN&\geq LN\cdot AB\\LN\cdot CD+DL\cdot CN&\geq CL\cdot DN.\end{align*}$$ Desde $AB=CD$ sumando las dos se obtiene la desigualdad deseada.