Historia de la notación: "!"

Question

¿Alguien sabe de dónde proviene el símbolo de factorial "!"?

No puedo decidir si es mi notación favorita o menos favorita en matemáticas...

Answer 1

Los primeros usos de varios símbolos matemáticos te ayudará a conocer el origen de los símbolos matemáticos.

Factorial está en la categoría "probabilidad y estadísticas" y podemos leer:

La notación $n!$ fue introducida por Christian Kramp (1760-1826) en 1808. En su libro Élémens d'arithmétique universelle (1808), Kramp escribió [en francés antiguo]:

Je me sers de la notation trés simple $n!$ para désigner le produit de nombres décroissans depuis n jusqu'à l'unité, savoir $n(n - 1)(n - 2) ... 3\cdot 2\cdot 1$. L'emploi continuel de l'analyse combinatoire que je fais dans la plupart de mes démonstrations, a rendu cette notation indispensable.

Mi traducción:

Utilicé la notación muy simple $n!$ para referirme al producto de enteros decrecientes desde n hasta 1, es decir $n(n - 1)(n - 2) ... 3\cdot 2\cdot 1$. Tuve que hacerlo ya que he nombrado este producto un gran número de veces en mis demostraciones.

Answer 2

Como se señala en la respuesta de Fabien, el primer lugar para preguntas sobre notación es A History of Mathematical Notations de Cajori. La sección 713 contiene un extracto con las observaciones de Augustus de Morgan sobre la notación, incluyendo su opinión sobre el uso de "!" para el factorial. Él, por su parte, no era fan. Aquí hay un extracto del extracto:

"La notación matemática, al igual que el lenguaje, ha crecido sin mucho cuestionamiento, siguiendo las pautas de la conveniencia y con la aprobación de la mayoría. La semejanza, real o imaginada, ha sido la primera guía, y la analogía ha tenido éxito....

Entre las peores barbaridades está la de introducir símbolos que son completamente nuevos en matemáticas, pero perfectamente entendidos en el lenguaje común. Los escritores han tomado prestada de los alemanes la abreviatura $n!$ para significar $1\,.\,2\,.\,3\,.\,.\,.\,.\,(n-1)\,.\,n$, lo cual hace que sus páginas parezcan expresar sorpresa y admiración de que se encuentren $2$, $3$, $4$, etc., en resultados matemáticos."

Answer 3

Según Ian Stewart, el símbolo "!" fue introducido por motivos de impresión. Antes de 1808

$\underline{n\big|} = n \cdot (n-1) \cdots 3 \cdot 2$

era ampliamente utilizado para denotar el factorial. Debido a que era difícil imprimirlo [en épocas no computarizadas], el matemático francés Christian Kramp eligió "!".

Fuente: El Tesoro Matemático del Profesor Stewart

Answer 4

Ayer di una breve respuesta a la pregunta ¿Qué significa este símbolo? y cité un documento de estudio histórico de 1921 de Cajori. Dado que este artículo no está disponible libremente en Internet (de hecho, mi copia es una fotocopia de un volumen encuadernado de la revista en una biblioteca), decidí ampliar mi respuesta incluyendo extractos del artículo, con enlaces, casi todos ellos de libre acceso (al menos en Estados Unidos), a todos los artículos y libros citados en los extractos. Sin embargo, como esa pregunta ha sido marcada como un duplicado de la pregunta aquí, y la pregunta aquí parece ser más visible y un mejor depósito para estos extractos, estoy publicando los extractos aquí en su lugar.

Además del artículo de Cajori, quiero llamar la atención sobre la entrada del blog de Pat Ballew del 24 de enero de 2014 Notas sobre la historia del factorial que también ofrece un estudio histórico bastante completo.

Florian Cajori, Historia de los símbolos para $\underline{n}=$ factorial , Isis 3 #3 (verano de 1921), 414-418.

(primeras frases del documento, en la p. 414) Tan simple como las anotaciones para la designación de " $n$ -factorial " (es decir, del producto $1.\;2.\;3 \ldots n)$ implica en la historia de su desarrollo cuestiones de interés pedagógico y filosófico. ¿Es deseable introducir a un joven estudiante en una gran cantidad de simbolismo algebraico o debe haber restricciones? ¿No puede ser el simbolismo tan extenso como para retrasar en lugar de acelerar el progreso del álgebra como ciencia? La historia de las notaciones factoriales nos lleva a considerar estas cuestiones. Se sabe que $\left({}^1\right)$ desde hace algunos años que la notación $n!$ que representa el producto $1.\;2 \ldots n,$ fue introducido hace más de un siglo por CHRISTIAN KRAMP [= Christian (Chrétien) Kramp (1760-1826) ], profesor de la Universidad de Estrasburgo, en su Elementos de Aritmética Universal o Álgebra [= Elementos de aritmética universal Véase el párrafo que precede al artículo 188 en la p. 219], Colonia, 1808 $[\cdots]$

Nota: Nota a pie de página $\left({}^1\right)$ en la p. 414 menciona dos referencias, publicadas en 1903 y en 1904, en apoyo de la afirmación sobre Kramp. En la mitad inferior de la p. 414, Cajori menciona el uso de Legendre de $\Gamma(n+1)$ y el uso de Gauss de $\Pi(n),$ ambos alrededor de 1811, y algunas otras anotaciones más oscuras utilizadas en la primera mitad del siglo XIX.

(de la mitad superior de la p. 415) En relación con el origen de la notación $\underline{\big|n}$ para " $n$ -factorial ", no se ha dado nada en las historias, excepto la afirmación de que ha estado en uso en Inglaterra. Nos complace poder arrojar luz sobre la historia de este símbolo y dar algunos detalles sobre su difusión y la de su rival $n!,$ en Estados Unidos y otros países. La notación $\underline{\big|n}$ fue sugerido en 1827 por THOMAS JARRETT (1805-1882) que acababa de graduarse en el St Catherine's College de Cambridge, Inglaterra, con el título de B. A. Se produce en un trabajo " Sobre la notación algebraica " que se imprimió en 1830 $\left({}^3\right).$

Nota: Nota a pie de página $\left({}^3\right)$ en la p. 415 especifica la p. 67 del volumen III de Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge .

(de la parte inferior de la p. 415 a la superior de la p. 416) Durante un cuarto de siglo la notación $\underline{\big|n}$ fue descuidado. En 1846, el Rev. HARVEY GOODWIN lo utilizó libremente en un artículo, " Sobre la representación geométrica de las raíces de las ecuaciones algebraicas ", que se imprimió en 1849 $\left({}^4\right).$ [Nota a pie de página $\left({}^4\right)$ especifica la p. 343 del volumen 8 de Cambridge Philosophical Transactions]. En 1847 GOODWIN publicó su Curso elemental de matemáticas , un popular manual educativo que alcanzó varias ediciones, pero, para nuestra sorpresa, no hizo uso de ninguna notación contraída para el factorial $\underline{n}$ en este texto. De hecho, el símbolo $\underline{\big|n}$ no avanzó sustancialmente en Inglaterra hasta que fue adoptada por ISAAC TODHUNTER hacia 1860, y fue utilizado en sus textos populares.

(de la mitad inferior de la p. 416) En Estados Unidos $\underline{\big|n}$ se introdujo probablemente a través de los textos de TODHUNTER. En el primer volumen (1874) de la obra de J. E. HENDRICKS [= Joel Evans Hendricks (1818-1893) ] Analista (Des Moines, Iowa) tanto la notación $\underline{\big|n}$ y $n!$ son utilizados por diferentes escritores. Esta última notación, aunque más sencilla, se utilizó en los textos elementales de este país [= Estados Unidos] con menos frecuencia que la primera. La notación $\underline{\big|n}$ fue adoptada por destacados escritores de libros de texto como JOSEPH FICKLIN ( Álgebra completa (copyright 1874), CHARLES DAVIES (Revisado BOURDON'S Elementos de Álgebra , 1877), EDWARD OLNEY (1881) y más o menos en la misma época por GEORGE A. WENTWORTH , WEBSTER WELLS , E. A. BOWSER [= Edward Albert Bowser (1845-1910) ] y otros. De este modo, se arraigó firmemente en este país $\left({}^4\right).$ Entre los autores franceses y alemanes $\underline{\big|n}$ no ha recibido ningún favor [ significa : se utilizaba muy poco]. La notación $n!$ se adoptó ampliamente en Alemania $[\cdots]$

(nota a pie de página $\left({}^4\right)$ en la página 416) En algunas publicaciones el símbolo factorial de JARRETT se da en la forma modificada $\underline{n\big|}.$ Véase, por ejemplo, THOMAS CRAIG'S Tratado de ecuaciones diferenciales lineales vol. 1, p. 463, Nueva York 1889, y WEBSTER'S Nuevo Diccionario Internacional de la Lengua Inglesa , Springfield 1919, bajo la palabra "factorial".

(de la mitad superior de la p. 417) G. CHRYSTAL'S Álgebra [= Álgebra. Un libro de texto elemental para las clases superiores de las escuelas secundarias y para los colegios, Parte II Nota a pie de página 4], 1889, salió para [ significa : abogó por] $n!,$ aunque en el $\text{XIX}^{\text{th}}$ siglo era mucho menos frecuente en Inglaterra que $\underline{\big|n}.$ En Estados Unidos $n!$ fue utilizado por W. P. G. Bartlett [= William Pitt Greenwood Bartlett (1837-1865) ] $\left({}^3\right)$ ya en el año 1858. Fue adoptado principalmente por un grupo de hombres que habían estudiado en Harvard $[\cdots]$

(nota a pie de página $\left({}^3\right)$ en la página 417) J. D. RUNKLE'S , Mensual de Matemáticas Vol. I, nº 3, p. 84-87, Cambridge, Mass., 1858.

(mitad inferior de la p. 417 hasta el final del documento) En el siglo actual [= principios del siglo XX] la notación $n!$ ha conseguido un dominio casi total sobre sus rivales. Es mucho más conveniente para el impresor. Es notable el hecho de que muchos escritos, tanto avanzados como elementales, no utilizan ninguna notación contraída para $n$ -factorial; la notación expandida $1,\; 2, \; 3\ldots \; n$ [" $1.\;2.\;3 \ldots n$ ", probablemente se pretende] se adhiera. El hecho es que un modo corto de designación no es tan imperativo aquí como lo es para la "raíz cuadrada", la "raíz cúbica" o "la $n^{\text{th}}$ poder ". Hemos visto que HARVEY GOODWIN del Caius College, Cambridge, hizo un uso liberal de $\underline{\big|n}$ en un artículo de investigación, pero lo evitó en su Curso elemental . Instintivamente se retrajo de su introducción en la enseñanza elemental. Tenemos aquí la cuestión relativa a la precocidad y profusión del simbolismo en las matemáticas: ¿Es deseable? En el caso de $n$ -factorial algunos escritores de libros elementales de reconocido prestigio lo evitan. Más aún, ha sido evitado por muchos escritores en el campo de la matemática avanzada, como $[\cdots]$ Por supuesto, no estoy preparado para decir que estos escritores nunca usaron $n!$ o $\underline{\big|n};$ Sólo afirmo que normalmente evitaban esos símbolos. Estas consideraciones forman parte de la cuestión general de la conveniencia del uso de símbolos en las matemáticas en la medida defendida por la escuela de G. PEANO en Italia y de A. N. WHITEHEAD y B. RUSSELL en Inglaterra. El sentimiento contra esa "costra de símbolos" parece ser fuerte y generalizado. Si la adopción de un solo símbolo, como nuestro $n!$ o $\underline{\big|n},$ el asunto parecería trivial, pero cuando se ofrecen decenas de símbolos, se produce una situación más grave. Algunos tipos de símbolos son indispensables; otros sólo tienen un valor cuestionable. La riqueza del significado se transmite instantáneamente por $\frac{dy}{dx},$ $\int y \, dx,$ pero $\underline{\big|n}$ y $n!$ no sirven más que para ahorrar un poco de espacio. Los escritores que aceptan in toto el programa de expresar todos los teoremas y todos los razonamientos mediante un simbolismo severamente contraído, deben enmarcar las anotaciones para asuntos que pueden expresarse más convenientemente con palabras ordinarias o en un simbolismo menos especializado. Sabemos que el alimento intelectual se digiere a veces más fácilmente, si no se toma en la forma más condensada. Se preguntará, ¿hasta qué punto pueden adoptarse con provecho las notaciones especializadas? A esta pregunta respondemos, sólo la experiencia puede decirlo . Una de las funciones de la historia de las matemáticas es registrar estas experiencias. Por lo tanto, se puede esperar que el estudio de la historia de las matemáticas arroje algo de luz sobre lo que constituye el curso más provechoso y eficiente a seguir en el futuro. La historia de las matemáticas puede reducir al mínimo la cantidad de experimentos futuros. Por ello, las notaciones algebraicas merecen un tratamiento histórico más cuidadoso del que han recibido hasta ahora.