Demostrar que si $i$ y $j$ son números enteros, el $\langle a^i \rangle = \langle a^j \rangle$ si $i=\pm j$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y que $a \in G$ sea un elemento de orden infinito. Demostrar que si $i$ y $j$ son números enteros, el $\langle a^i \rangle = \langle a^j \rangle$ si $i=\pm j$ .

Mi intento, Como a es un elemento de orden infinito $a^i = a^j$ si i = j, por lo tanto $\langle a^i \rangle = \langle a^j \rangle$ . Dado que j es coprima a j-1, $C_n = \langle a^j \rangle = \langle a^{j-1} \rangle = \langle a^{-j} \rangle$ mod J.

Answer 1

Una dirección es casi trivial. En el otro, hay que tener en cuenta que

$$\bigl\langle a^i\bigr\rangle:=\bigl\{a^{ik}:k\in\Bbb Z\bigr\}$$ y $$\bigl\langle a^j\bigr\rangle:=\bigl\{a^{jk}:k\in\Bbb Z\bigr\}.$$

Si $\bigl\langle a^i\bigr\rangle=\bigl\langle a^j\bigr\rangle,$ entonces, $a^i\in\bigl\langle a^j\bigr\rangle$ por lo que desde $a$ tiene un orden infinito, entonces $i$ es un múltiplo entero de $j$ . Del mismo modo, tenemos que $j$ es un múltiplo entero de $i$ . La conclusión se desprende con bastante facilidad después de eso.

Answer 2

Observe que tiene un isomorfismo de $\mathbb{Z}$ en $\langle a\rangle $ dado por $$ n\longmapsto a^n. $$

Así que todo se reduce a $$ i\mathbb{Z}=j\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow\quad |i|=|j|. $$

La implicación $\Leftarrow$ es trivial.

Ahora bien, si $i\mathbb{Z}=j\mathbb{Z}$ , usted tiene $$ i\in j\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad j|i $$ e igualmente $i|j$ .

Así que la implicación $\Rightarrow$ se deduce del teorema fundamental de la aritmética.

Nota: si no quieres utilizar el teorema fundamental de la aritmética, simplemente escribe $i=mj$ y $j=ni$ . Si $i=0$ entonces $j=0$ . Si $i\neq 0$ entonces $i=mni$ implica $mn=1$ lo que implica a su vez $m=n=1$ de $m=n=-1$ .

Answer 3

1. Para la dirección más fácil, basta con observar que $a^{-i}=(a^i)^{-1}$ y que, para cualquier $b\in G$ tenemos $\langle b\rangle=\langle b^{-1}\rangle$ (¿por qué?).
2. A la inversa, supongamos que $S:=\langle a^i\rangle=\langle a^j\rangle$ . A partir de la observación anterior, podemos suponer, a ojo de buen cubero, que tanto $i,j>0$ . Por simetría también podemos suponer que $i\le j$ . Ahora considere el resto $r$ cuando $j$ se divide por $i$ y concluir que $a^r\in S$ .