Demuestre que si para cada secuencia $(x_{n})$ convergiendo a cero, $(f(x_n))$ es limitado, entonces $f$ es una función limitada

Question

Dejemos que $\mathbb{X}$ un espacio vectorial normado. Si $f\colon \mathbb{X}\to\mathbb{K}$ es un funcional lineal tal que para toda secuencia $(x_{n})$ que converge a cero tenemos que $(f(x_{n}))$ está acotado. Demuestre que $f$ es un funcional acotado. ¿Podría alguien ayudarme, por favor? No he sido capaz de dar ideas para este ejercicio.

Answer 1

Supongamos por contradicción que un funcional como ese puede ser ilimitado, entonces $\exists(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia acotada de elementos de $\mathbb{X}$ tal que $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ no tiene límites (podemos suponer que $\lim_{n\to+\infty}|f(x_n)|=+\infty$ si no es estrictamente cierto sólo hay que considerar una subsecuencia de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ con esta propiedad y renombrar ese $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ), consideremos ahora $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $y_n=\frac{x_n}{\sqrt{1+|f(x_n)|}}\forall n\in\mathbb{N}$ . Ahora, $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ se construye y $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ va a $+\infty$ Así que $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es infinitesimal y $f(y_n)=\frac{f(x_n)}{\sqrt{1+|f(x_n)|}}$ Así que $\lim_{n\to+\infty}|f(y_n)|=+\infty$ contradicción.