Elemento no trivial de $H_n(S^n)$ cubre todo el $S^n$

Question

Tengo una pregunta sobre la homología singular del $n$ -esfera con la que no estoy llegando a ninguna parte:

Demuestra lo siguiente:

Cualquier ciclo $c$ que representa una clase no trivial en el $n$ -grupo de homología singular $H_n(S^n)$ de la esfera cubre todo el $S^n$ (es decir, la unión de las imágenes de todos los singulares $n$ -simples que constituyen $c$ es todo $S^n$ ).

Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia, si todos los símiles pierden al menos un punto común, entonces usando un homeomorfismo de la esfera perforada $S^n$ (perforado en el punto perdido) al espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ , demuestre que existe una homotopía desde cada simplex del ciclo hasta el mapa constante.

Otro enfoque sería utilizar la homología relativa y la secuencia exacta larga asociada al par $(S^n, S^n\setminus\{p\})$ .

Answer 2

Si los símiles en cuestión no cubren $S^n$ Entonces, como se señala en la respuesta de Daniel Rust, se encuentran en $S^n \setminus \{p\}$ para algún punto $p$ , y así inducir un elemento de $H_n(S^n\setminus \{p\})$ . Así, su elemento original se encuentra en la imagen del mapa $H_n(S^n\setminus \{p\}) \to H_n(S^n).$ ¿Qué puede decir de este mapa?