¿Por qué un número/infinitesimal+ es igual a infinito? ¿Por qué un número/infinitesimal- es igual a -infinito? Si un número real es 5, y un infinitesimal positivo es 0+, es 0,1 por ejemplo, ¿no? Me surgió esta duda mientras hacía un límite: $$\lim_{x \to - 2^-}\frac{(x-5)}{(x-2)(x+2)}$$ $$\lim_{x \to -2^-}\frac{(-2-5)}{(-2-2)(x+2)}$$ $$\lim_{x \to -2^-}\frac{-7}{(x-2)0^+}$$ $$\lim_{x \to -2^-}\frac{-7}{((-4)(0^+)}$$ $$\lim_{x \to -2^-}\frac{(-7)}{-0^+}$$ ¿Por qué es igual al infinito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
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Por los comentarios de abajo, parece que el punto de confusión es cómo entender $0^+$ . La respuesta es sencilla:
No lo uses (todavía).
" $0^+$ " es una abreviatura que se utiliza para abreviar los cálculos de los límites, pero no debe utilizarse hasta que esos cálculos precisos se entiendan bien. En concreto, en lugar de pensar en " ${-7\over -0^+}$ "debe obligarse a pensar explícitamente en términos de $$\lim_{h\rightarrow 0^+}{-7\over -h}.$$
- Espera, ¿no hay un " $0^+$ " en esa expresión ya? Bueno, en realidad no: no es "el límite como $h$ se acerca al número $0^+$ "sino "el límite como $h$ se acerca al número $0$ desde la derecha". En realidad, cuando estaba aprendiendo cálculo me molestaba bastante esta notación, y argumentaba que debería ser " $h\rightarrow^+0$ " en lugar de " ${}^+$ " está modificando la forma en que se toma el límite, no el valor al que se toma. Pero de todos modos .
Ahora, introduciendo los números no un cálculo válido, pero puede ser, no obstante, una útil comprobación de la realidad. Por ejemplo $h={1\over 100000000}$ . Entonces $${-7\over -h}={-7\over-({1\over 100000000})}={7\over({1\over 100000000})}=700000000.$$ Esto debería sugerir que si $h$ es realmente pequeño y positivo entonces ${-7\over -h}$ es realmente grande y positiva, por lo que deberíamos esperar $\lim_{h\rightarrow 0^+}{-7\over -h}=+\infty$ .
(Obsérvese que podríamos haber simplificado las cosas desde el principio y anular los signos menos: probablemente sea más fácil pensar en $\lim_{h\rightarrow 0^+}{7\over h}$ ).
En general, tienes que obligarte a ir despacio con los límites y utilizar las definiciones con cuidado hasta que las domines. Hay muchos lugares en los que ir demasiado rápido te traerá problemas. Otro escollo común (lo he visto con frecuencia con los estudiantes) es sobre el conversa de las leyes límite. Por ejemplo, he visto a muchos estudiantes argumentar que $\lim_{x\rightarrow a}[f(x)+g(x)]$ es indefinido siempre que ambos $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ son indefinidos, pero por supuesto eso es incorrecto: considere $$f(x)={1\over x},\quad g(x)=-{1\over x}\quad\implies \quad f(x)+g(x)={1\over x}-{1\over x}.$$
