$\frac{(10^4+324)(22^4+324)\cdots(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324) \cdots (52^4+324)}$

Question

A partir de AIME 1987, calcula $$\frac{(10^4+324)(22^4+324)\cdots (58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324) \cdots (52^4+324)}$$

Así que básicamente la forma utilizada para resolver esto es mediante la Identidad de Sophie Germain que es $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$

Mi pregunta es, ¿cómo es posible que un estudiante resuelva esta pregunta sin conocer esta identidad? ¿Hay alguna otra forma de resolverla?

Answer 1

Al notar que $x^4+324=0$ implica $x=-3\pm3i$ y $x=3\pm 3i$ cada raíz corresponde a un factor. Ahora vamos a tratar de generalizar nuestro problema con la colocación de $x$ en lugar de $7$ . $$\frac{((x+3)^4+324)((x+15)^4+324)((x+27)^4+324)((x+39)^4+324)((x+51)^4+324)}{((x-3)^4+324)((x+9)^4+324)((x+21)^4+324)((x+33)^4+324)((x+45)^4+324)}$$ Ahora bien, observe que para $(x+3)^4+324=0$ las raíces son $$x+3=-3\pm3i\\x=-6\pm3i$$ y $$x+3=3\pm 3i\\x=\pm3i$$ En general, las raíces de $(x+3+12k)^4+324=0$ son $$x=-6-12k\pm 3i$$ y $$x=-12k\pm 3i$$ Y las raíces de $(x-3+12k)^4+324=0$ $$x=-12k\pm 3i\\x=6-12k\pm3i$$ Puedes ver que casi todos los factores del numerador y del denominador son iguales, excepto los factores que corresponden a las raíces $-54\pm3i$ en el numerador y a las raíces $6\pm 3i$ en el denominador.Así que nos queda $$\frac{(x+54-3i)(x+54+3i)}{(x-6-3i)(x-6+3i)}=\frac{(x+54)^2+9}{(x-6)^2+9}$$ Para $x=7$ obtenemos $$\frac{61^2+9}{10}=\frac{(60+1)^2+9}{10}=\frac{3600+121+9}{10}=373$$

Answer 2

( Sin usar La identidad de Sophie Germain Por petición de la OP .)

La expresión dada es $\,f(7, 5)\,$ donde $\,\displaystyle f(x, n) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{(x+12k+3)^4+324}{(x+12k-3)^4+324}\,$ .

Tomando cada término por separado, dejemos que $\,y=x+12k\,$ entonces la fracción se puede escribir como $\,\displaystyle\frac{(y+3)^4+324}{(y-3)^4+324}\,$ . Buscando simplificar la fracción, resulta que $\,\gcd\left((y+3)^4+324, (y-3)^4+324\right)=y^2+9\,$ (n.b. por algoritmo polinómico euclidiano , sin utilizar ninguna visión de Sophie Germain). Después de anular el factor común de $\,y^2+9\,$ el término se convierte en:

$$\require{cancel} \displaystyle\frac{(y+3)^4+324}{(y-3)^4+324} = \displaystyle\frac{\cancel{(y^2+9)}(y^2+12y+45)}{\cancel{(y^2+9)}(y^2-12y+45)}=\frac{(y+6)^2+9}{(y-6)^2+9}=\frac{\big(x+12k+6\big)^2+9}{\big(x+12(k-1)+6\big)^2+9} $$

De ello se desprende que el producto se telescopia muy bien:

$$ \prod_{k=0}^{n-1} \frac{\big(x+12k+6\big)^2+9}{\big(x+12(k-1)+6\big)^2+9} \;=\; \frac{\big(x+12(n-1)+6\big)^2+9}{\big(x+12(0-1)+6\big)^2+9} \;=\; \frac{(x+12n-6)^2+9}{(x-6)^2+9} $$

Así que al final $\,\displaystyle f(7,5) = \frac{(7+5 \cdot 12 - 6)^2+9}{(7-6)^2+9} = \frac{61^2+9}{10}=\frac{3721+9}{10}=373\,$ .