Resolución de ecuaciones múltiples con muchas variables

Question

He aquí un problema con el que he tropezado, que puede tener una solución sencilla con álgebra lineal. Si es así, no lo veo.

Elija $n > 0 \in \mathbb N$ y considerar la secuencia de ecuaciones:

$$nx_1 + (n-1)y_1 - 1 = 0$$ $$nx_2 + (n-2)y_2 - 1 = 0$$ $$...$$ $$nx_{n-1} + y_{n-1} - 1 = 0$$

De manera equivalente, considere todas las ecuaciones para $0 < k < n$ tal que

$$nx_k + (n-k)y_k - 1 = 0$$

¿Cómo puedo determinar si estas ecuaciones tienen una solución para $x_k, y_k \in \mathbb R$ ? En particular, esperaba que alguien pudiera ayudarme a replantear el problema utilizando el álgebra lineal.

NOTA

La formulación original requería $x_k, y_k \in \mathbb Z$ en cuyo caso, la existencia de una solución a estas ecuaciones es verdadera si $n$ es primordial. He debilitado la restricción con la esperanza de encontrar formas de expresar o entender este problema sin los conceptos de $gcd$ o el Algoritmo Euclidiano.

Answer 1

Por el Teorema de Bézout, la ecuación diofantina $$ax + by = 1$$ donde $a, b \in \mathbb Z$ tiene soluciones enteras para $x$ y $y$ si y sólo si $hcf(a,b)=1$ .

Por lo tanto, la ecuación $$nx_k + (n-k)y_k - 1 = 0$$ tiene soluciones si y sólo si $$hcf(n, n-k) = hcf(n,k)=1$$

En particular, si $n$ es primo, entonces todas las ecuaciones tendrán solución.

Answer 2

Si $n$ no es primo, entonces que $d$ sea un divisor de $n$ tal que $1 < d < n$ . Entonces, $nx_{n-d} + dy_{n-d} = d\left(\tfrac{n}{d}x_{n-d}+y_{n-d}\right)$ es un múltiplo de $d$ Así que $nx_{n-d} + dy_{n-d} = 1$ no tiene soluciones.

Si $n$ es primo, entonces $\text{gcd}(k,n) = 1$ para todos $1 \le k < n$ y así podemos utilizar el Algoritmo de Euclides para encontrar una solución $(x_k,y_k)$ para cada ecuación $nx_{n-k} + ky_{n-k} = 1$ .